Nos itens abaixo, defina a transformação linear por e determine se tais transformações são injetoras e/ou sobrejetoras.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T:R^2toR^2 por
T(v)=A cdot v,
onde
A = -2 & 0 0 & 2
O que precisamos usar: 1. Critério de injetividade de uma transformação linear (ker(T)=0). 2. Critério de sobrejetividade (im(T) tem dimensão igual à do contradomínio).
Passo 2
Para verificar injetividade, calculamos o núcleo:
A,v = 0 Long<=ftrightarrow -2x = 0, 2y = 0,
logo x=0 e y=0. Assim
ker(T)=(0,0),
e pelo teorema de injetividade de transformações lineares concluímos que T é injetora.
Passo 3
Para verificar sobrejetividade, note que é matriz quadrada com determinante
Uma matriz quadrada invertível gera uma transformação linear com imagem de dimensão máxima. Como e , temos
logo e é sobrejetora.
Resposta
A transformação T é simultaneamente injetora e sobrejetora.