Nos itens abaixo, defina a transformação linear T por T(v)=A v e determine se tais transformações são injetoras e/ou sobrejetoras.
A=[cc-2 & 0 0 & 2]

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T:R^2toR^2 por
T(v)=A cdot v,
onde
A = -2 & 0 0 & 2
O que precisamos usar:
1. Critério de injetividade de uma transformação linear ( ker(T)=0).
2. Critério de sobrejetividade ( im(T) tem dimensão igual à do contradomínio).

Passo 2

Para verificar injetividade, calculamos o núcleo:
A,v = 0 Long<=ftrightarrow -2x = 0, 2y = 0,
logo x=0 e y=0. Assim
ker(T)=(0,0),
e pelo teorema de injetividade de transformações lineares concluímos que T é injetora.

Passo 3

Para verificar sobrejetividade, note que é matriz quadrada com determinante
Uma matriz quadrada invertível gera uma transformação linear com imagem de dimensão máxima. Como e , temos
logo e é sobrejetora.

Resposta

A transformação T é simultaneamente injetora e sobrejetora.

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