Calcule o volume de um cone reto, sabendo que sua superficie lateral planificada é um setor circular de raio e ângulo central respectivamente medindo 24 cm e
.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um cone reto. A informação que temos é que a superfície lateral desse cone, quando aberta, forma um setor circular com raio de 24 cm e ângulo central de
. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria sobre cones e setores de círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a superfície lateral de um cone ser um setor circular. Quando a lateral de um cone é “planificada” ou aberta, ela forma um setor de círculo cujo raio é igual ao comprimento da geratriz (a linha inclinada que vai do vértice até a base do cone). Então, aqui, a geratriz do cone tem 24 cm.
Passo 3
O próximo passo é relacionar o ângulo central do setor com o perímetro da base do cone. O comprimento do arco desse setor é igual à circunferência da base do cone. A fórmula do comprimento do arco (
) de um setor é:
Onde:
-
é o comprimento do arco, -
é o raio do setor (neste caso, a geratriz do cone, 24 cm), -
é o ângulo central em radianos.
Passo 4
Primeiro, precisamos converter o ângulo de
para radianos, porque a fórmula usa radianos. Sabemos que:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o comprimento do arco:
Esse
é a circunferência da base do cone.
Passo 6
Sabemos que a circunferência (
) de um círculo é dada por:
Onde
é o raio da base do cone. Igualando isso ao comprimento do arco que encontramos:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, o raio da base do cone é 3 cm.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a altura (
) do cone. Sabemos que a geratriz (
), o raio da base (
) e a altura formam um triângulo retângulo. Pelo Teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores que temos:
Passo 8
Resolvendo para
:
Então,
Podemos simplificar a raiz:
Passo 9
Agora que temos a altura, podemos calcular o volume (
) do cone. A fórmula para o volume de um cone é:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A alternativa correta é:
b)