Calcule o volume de um cone reto, sabendo que sua superficie lateral planificada é um setor circular de raio e ângulo central respectivamente medindo 24 cm e 45^circ.
a) 27 raiz5 pi cm^3
b) 27 raiz7 pi cm^3
c) 25 raiz7 pi cm^3
d) 27 pi cm^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um cone reto. A informação que temos é que a superfície lateral desse cone, quando aberta, forma um setor circular com raio de 24 cm e ângulo central de 45^circ. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria sobre cones e setores de círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a superfície lateral de um cone ser um setor circular. Quando a lateral de um cone é “planificada” ou aberta, ela forma um setor de círculo cujo raio é igual ao comprimento da geratriz (a linha inclinada que vai do vértice até a base do cone). Então, aqui, a geratriz do cone tem 24 cm.

Passo 3

O próximo passo é relacionar o ângulo central do setor com o perímetro da base do cone. O comprimento do arco desse setor é igual à circunferência da base do cone. A fórmula do comprimento do arco ( s) de um setor é:
s = r cdot theta
Onde:
  • s é o comprimento do arco,
  • r é o raio do setor (neste caso, a geratriz do cone, 24 cm),
  • theta é o ângulo central em radianos.

Passo 4

Primeiro, precisamos converter o ângulo de 45^circ para radianos, porque a fórmula usa radianos. Sabemos que:
pi rad = 180^circ Rightarrow 1^circ = pi180 rad
Então,
45^circ = 45 times pi180 = pi4 rad

Passo 5

Agora, vamos calcular o comprimento do arco:
s = 24 cm times pi4 = 6pi cm
Esse 6pi cm é a circunferência da base do cone.

Passo 6

Sabemos que a circunferência ( C) de um círculo é dada por:
C = 2pi r
Onde r é o raio da base do cone. Igualando isso ao comprimento do arco que encontramos:
2pi r = 6pi
Dividindo ambos os lados por 2pi:
r = 6pi2pi = 3 cm
Então, o raio da base do cone é 3 cm.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a altura ( h) do cone. Sabemos que a geratriz ( l), o raio da base ( r) e a altura formam um triângulo retângulo. Pelo Teorema de Pitágoras:
l^2 = r^2 + h^2
Substituindo os valores que temos:
24^2 = 3^2 + h^2 Rightarrow 576 = 9 + h^2

Passo 8

Resolvendo para h^2:
h^2 = 576 - 9 = 567
Então,
h = raiz567
Podemos simplificar a raiz:
raiz567 = raiz81 times 7 = 9raiz7 cm

Passo 9

Agora que temos a altura, podemos calcular o volume ( V) do cone. A fórmula para o volume de um cone é:
V = 13 pi r^2 h
Substituindo os valores que encontramos:
V = 13 pi (3)^2 (9raiz7) = 13 pi (9)(9raiz7) = 13 pi (81raiz7) = 27raiz7 pi cm^3

Resposta

A alternativa correta é:
b) 27 raiz7 pi cm^3

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