Nos itens abaixo, defina a transformação linear T por T(v)=A v e determine se tais transformações são injetoras e/ou sobrejetoras.
A=[cc5 & -3 1 & 1 1 & -1]

Passo 1

O enunciado pede para definirmos a transformação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(v)=A,v
onde
A = 5 & -3 1 & 1 1 & -1 ,
e então verificar se T é injetora e se é sobrejetora.
Para isso vamos usar o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity) e verificar a independência linear das colunas de A.

Passo 2

Extraímos as colunas de A como vetores em R^3:
v1 = 511, v2 = -31-1
O posto de A (rank) é igual à dimensão do espaço gerado por v1,v2.

Passo 3

Para checar se
isto é o sistema
Da segunda equação vem , logo e então .

Passo 4

Como a única solução é c1 = c2 = 0, os vetores são independentes e
rank(A) = 2
Pela definição de posto, dim(ker T) = dim(R^2) - rank(A) = 2 - 2 = 0.

Passo 5

– Injetividade: T é injetora se e somente se ker T = 0. Aqui dim(ker T)=0, então ker T=0 e T é injetora.
– Sobrejetividade: T seria sobrejetora se rank(A)=dim(R^3)=3. Mas rank(A)=2<3, logo a imagem de T é um subespaço de dimensão 2 em R^3, ou seja, não enche todo R^3.

Resposta

A transformação
Tcolon R^2 to R^3, T(v)=A,v
é injetora e não sobrejetora.

Exercícios relacionados