O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é
, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros:
a) 9 e 8
b) 8 e 6
c) 8 e 7
d) 9 e 6
e) 10 e 8
a) 9 e 8
b) 8 e 6
c) 8 e 7
d) 9 e 6
e) 10 e 8
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um cone circular reto onde o raio da base (
) é igual à média aritmética da altura (
) e da geratriz (
) do cone. Sabemos também que o volume do cone é
. Nosso objetivo é achar o valor do raio e da altura desse cone.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone:
Sabemos que
, então temos:
Vamos deixar essa equação de lado por enquanto e focar na relação entre
,
e
.
Passo 3
A questão diz que o raio da base (
) é a média aritmética da altura (
) e da geratriz (
). A média aritmética é simplesmente a soma dos valores dividida pelo número de valores. Então:
Agora, precisamos relacionar
com
e
.
Passo 4
Em um cone circular reto, a geratriz (
) está relacionada ao raio (
) e à altura (
) através do teorema de Pitágoras:
Vamos substituir essa expressão na equação da média aritmética de
.
Passo 5
Substituindo
na equação da média:
Essa é uma equação que relaciona
e
. Nosso objetivo é encontrar valores inteiros para
e
que satisfaçam essa equação e também a do volume.
Passo 6
Vamos agora testar as alternativas fornecidas para ver qual delas satisfaz as duas equações:
-
Alternativa a)
, - Calculando a média:
→ Não confere.
- Calculando a média:
-
Alternativa b)
, - Média:
→ Confere. - Verificando o volume:
- Média:
Porém, o volume dado é \(128 \, \text{m}³\), então não confere.
-
Alternativa c)
, - Média:
→ Não confere.
- Média:
-
Alternativa d)
, - Média:
→ Não confere.
- Média:
-
Alternativa e)
, - Média:
→ Não confere.
- Média:
Resposta
Nenhuma das alternativas confere com o volume dado. Parece que houve um erro na formulação das opções.