O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128 square m^3, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros:
a) 9 e 8
b) 8 e 6
c) 8 e 7
d) 9 e 6
e) 10 e 8

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um cone circular reto onde o raio da base ( r) é igual à média aritmética da altura ( h) e da geratriz ( l) do cone. Sabemos também que o volume do cone é 128 , m³³. Nosso objetivo é achar o valor do raio e da altura desse cone.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone:
V = 13 pi r^2 h
Sabemos que V = 128, então temos:
13 pi r^2 h = 128
Vamos deixar essa equação de lado por enquanto e focar na relação entre r, h e l.

Passo 3

A questão diz que o raio da base ( r) é a média aritmética da altura ( h) e da geratriz ( l). A média aritmética é simplesmente a soma dos valores dividida pelo número de valores. Então:
r = h + l2
Agora, precisamos relacionar l com r e h.

Passo 4

Em um cone circular reto, a geratriz ( l) está relacionada ao raio ( r) e à altura ( h) através do teorema de Pitágoras:
l = raizr^2 + h^2
Vamos substituir essa expressão na equação da média aritmética de r.

Passo 5

Substituindo l na equação da média:
r = h + raizr^2 + h^22
Essa é uma equação que relaciona r e h. Nosso objetivo é encontrar valores inteiros para r e h que satisfaçam essa equação e também a do volume.

Passo 6

Vamos agora testar as alternativas fornecidas para ver qual delas satisfaz as duas equações:
  • Alternativa a) ,
    • Calculando a média: → Não confere.
  • Alternativa b) ,
    • Média: → Confere.
    • Verificando o volume:
³
Porém, o volume dado é \(128 \, \text{m}³\), então não confere.
  • Alternativa c) ,
    • Média: → Não confere.
  • Alternativa d) ,
    • Média: → Não confere.
  • Alternativa e) ,
    • Média: → Não confere.

Resposta

Nenhuma das alternativas confere com o volume dado. Parece que houve um erro na formulação das opções.

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