Nos itens abaixo, defina a transformação linear T por T(v)=A v e determine se tais transformações são injetoras e/ou sobrejetoras.
A=[llll 0 & 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 0 ]

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^4toR^4 por T(v)=A,v, com
A = 0 & 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 0
Vamos testar injetividade via ker(T) e sobrejetividade via rank(A).

Passo 2

Para v=(x,y,z,w) temos
T(x,y,z,w) =l(y,;3x+y,;z+w,;2zr)
Lembrando que
  • T é injetora iff ker(T)=0.
  • T é sobrejetora iff rank(A)=4.

Passo 3

Observe que A é bloco-diagonal nos blocos
B=0&13&1, C=1&12&0
Calculamos
det(B)=0cdot1-3cdot1=-3neq0, det(C)=1cdot0-2cdot1=-2neq0,
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det(A)=det(B),det(C)neq0
Como det(A)neq0, segue que rank(A)=4 e ker(A)=0.

Passo 4

De ker(T)=0 e rank(A)=4 concluímos que T é bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.

Resposta

T é injetora e sobrejetora.

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