Nos itens abaixo, defina a transformação linear
por
e determine se tais transformações são injetoras e/ou sobrejetoras.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^4toR^4 por
T(v)=A,v , com
Vamos testar injetividade via
ker(T) e sobrejetividade via
rank(A) .
Passo 2
Para
v=(x,y,z,w) temos
Lembrando que
-
é injetoraT .iff ker(T)=0 -
é sobrejetoraT .iff rank(A)=4
Passo 3
Observe que
A é bloco-diagonal nos blocos
Calculamos
logo
Como
det(A)neq0 , segue que
rank(A)=4 e
ker(A)=0 .
Passo 4
De
ker(T)=0 e
rank(A)=4 concluímos que
T é bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.