Nos itens abaixo, defina a transformação linear por e determine se tais transformações são injetoras e/ou sobrejetoras.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:R^3toR^3 definida por
T(v)=A,v,
onde
A= 1 & 2 & 3 -1 & 2 & 4 0 & 4 & 1
Precisamos decidir se T é injetora (kernel trivial) e/ou sobrejetora (imagem igual a R^3).
Passo 2
Um resultado padrão diz que, para em espaços de mesma dimensão, é injetora se e somente se , é sobrejetora se e somente se ,
e ambos ocorrem exatamente quando , isto é, quando .
Passo 3
Calculamos por desenvolvimento de Laplace na primeira linha:
Agora cada menor:
Substituindo,
Logo .
Passo 4
Como , a matriz é invertível, o que implica . Logo tem núcleo trivial (é injetora) e imagem de dimensão 3 (é sobrejetora).
Resposta
A transformação T definida por T(v)=A,v é injetora e sobrejetora.