Quais espaços vetoriais abaixo são isomorfos à R^6 ? Justifique sua resposta construindo um isomorfismo ou explicando a impossibilidade.
M2,3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o espaço das matrizes 2times3, denotado por M2,3, é isomorfo a R^6. Para isso vamos usar o fato de que dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos se, e somente se, têm a mesma dimensão, e em seguida construir um isomorfismo explícito.

Passo 2

Calcular a dimensão de M2,3.
Uma matriz em M2,3 tem 2 linhas e 3 colunas, logo o número de entradas livres é
dim M2,3=2cdot3=6
Como por definição dimR^6=6, concluímos que ambos têm a mesma dimensão.

Passo 3

Definir um isomorfismo concreto
Definimos
fcolon M2,3toR^6, f!l( a11 & a12 & a13[4pt] a21 & a22 & a23 r) = l(a11,,a12,,a13,,a21,,a22,,a23r) ]

Passo 4

Verificar que f é um isomorfismo
1. Linearidade:
Para quaisquer matrizes A=(aij), B=(bij) e escalar lambda,
f(A+B) =(a11+b11,dots,a23+b23) =f(A)+f(B),
f(lambda A) =(lambda a11,dots,lambda a23) =lambda,f(A)
2. Injetividade:
Se f(A)=0inR^6, então todas as coordenadas aij=0, logo A é a matriz nula.
3. Sobrejetividade:
Dado (x1,dots,x6)inR^6, basta escolher
A= x1 & x2 & x3 x4 & x5 & x6 ,
então f(A)=(x1,dots,x6).
Portanto f é bijetiva e linear, isto é, um isomorfismo.

Resposta

M2,3 é isomorfo a R^6 sob o isomorfismo
f!l((aij)r) =(a11,a12,a13,a21,a22,a23)

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