Quais espaços vetoriais abaixo são isomorfos à
? Justifique sua resposta construindo um isomorfismo ou explicando a impossibilidade.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o espaço das matrizes
, denotado por
, é isomorfo a
. Para isso vamos usar o fato de que dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos se, e somente se, têm a mesma dimensão, e em seguida construir um isomorfismo explícito.
Passo 2
Calcular a dimensão de
.
Uma matriz em tem
linhas e
colunas, logo o número de entradas livres é
Uma matriz em
Como por definição
, concluímos que ambos têm a mesma dimensão.
Passo 3
Definir um isomorfismo concreto
Definimos
Definimos
Passo 4
Verificar que
é um isomorfismo
. Linearidade:
Para quaisquer matrizes ,
e escalar
,
Para quaisquer matrizes
Se
Dado
então
.
Portanto
é bijetiva e linear, isto é, um isomorfismo.