Se a massa m for presa na extremidade de uma mola e se a mola for puxada para baixo e liberada, o sistema massa-mola começará a oscilar. O deslocamento y da massa em relação à sua posição de repouso é dado por uma função da forma:
y(t)=c1 cos (omega t)+c2 sin (omega t)
na qual omega é uma constante que depende da mola e da massa. Mostre que o conjunto de toda sas funções descritas acima (com omega fixo e c1 e c2 arbitrários) é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema massa-mola onde a massa y(t) = c1 cos (omega t) + c2 sin (omega t) está presa a uma mola. Quando puxamos a mola para baixo e soltamos, a massa começa a oscilar. O deslocamento da massa em relação à posição de repouso é dado por uma função que combina cosseno e seno, ou seja:
Aqui, é uma constante que depende da mola e da massa. O que precisamos mostrar é que o conjunto de todas essas funções , com fixo e e podendo ser quaisquer valores, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (no nosso caso, funções) que podem ser adicionados entre si e multiplicados por escalar (números), de tal forma que certas propriedades (como associatividade, existência de elemento neutro, etc.) sejam satisfeitas.
Então, para mostrar que nosso conjunto de funções é um espaço vetorial, precisamos verificar essas propriedades básicas:
  1. Fechamento sob Adição: Se pegarmos duas funções do conjunto, a soma delas também deve estar no conjunto.
  2. Fechamento sob Multiplicação por Escalar: Se multiplicarmos uma função do conjunto por um número qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. E outras propriedades como associatividade, existência de um vetor zero, etc.
Vamos começar verificando o fechamento sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 3

Fechamento sob Adição:
Seja y1(t) + y2(t) = (c1 + d1) cos (omega t) + (c2 + d2) sin (omega t) e k cdot y(t) = k c1 cos (omega t) + k c2 sin (omega t) duas funções do nosso conjunto.
A soma dessas funções é:
Observamos que e são apenas novos coeficientes, que ainda podem ser qualquer número real. Portanto, também está no conjunto.
Fechamento sob Multiplicação por Escalar:
Seja um número real e uma função do nosso conjunto.
Multiplicando por :
Aqui, e são novos coeficientes, que também podem ser quaisquer números reais. Assim, também está no conjunto.

Passo 4

Além do fechamento sob adição e multiplicação por escalar, precisamos verificar outras propriedades fundamentais de um espaço vetorial:
  • Elemento Neutro: Existe uma função no conjunto que, quando adicionada a qualquer outra função, não a altera. Essa função é .
  • Existência de Inversos Aditivos: Para cada função , existe outra função que, quando somadas, resultam na função zero.
  • Associatividade e Comutatividade: A adição de funções é associativa e comutativa.
Essas propriedades são satisfeitas porque estamos lidando com combinações lineares de funções cosseno e seno, que naturalmente obedecem essas regras.

Resposta

Portanto, mostramos que o conjunto de todas as funções da forma , com fixo e e sendo quaisquer constantes, satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.

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