Nos itens abaixo, determine o domínio, descreva as curvas de nível e represente graficamente as superfícies
;
Passo 1
Beleza! Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função
. Precisamos:
- Determinar o domínio: Ou seja, descobrir quais valores de
e fazem a função existir. - Descrever as curvas de nível: Essas são as curvas no plano
onde a função assume um valor constante. - Representar graficamente as superfícies: Fazer um desenho da função no espaço 3D.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de funções de duas variáveis, domínio de funções, curvas de nível e gráficos de superfícies.
Passo 2
Encontrando o domínio da função:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida. No caso da nossa função
, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Então, temos:
Rearranjando:
Isso descreve um círculo de raio 1 no plano
, incluindo a borda. Portanto, o domínio da função é todos os pares
que estão dentro ou na fronteira desse círculo.
Passo 3
Descrevendo as curvas de nível:
Curvas de nível são as curvas no plano
onde a função
tem o mesmo valor constante. Vamos chamar esse valor de
.
Então, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Essa é a equação de um círculo com raio
. Isso significa que para cada valor de
, temos uma curva de nível que é um círculo com raio dependente de
. Quanto maior o valor de
, menor o raio do círculo.
Passo 4
Representando graficamente as superfícies:
A função
descreve uma superfície no espaço tridimensional. Vamos entender como ela se comporta:
-
Forma geral: A equação
pode ser rearranjada para . Se elevarmos ambos os lados ao quadrado, obtemos , que é a equação de uma esfera de raio 1 centrada na origem. -
Superfície representada: Apenas a parte onde
, porque a raiz quadrada dá valores não negativos. Portanto, a superfície é a metade superior de uma esfera de raio 1.
Graficamente, você pode imaginar uma bola onde estamos vendo apenas a parte de cima, sem a parte de baixo.
Resposta
Resumindo, o domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
dentro ou na fronteira do círculo de raio 1 no plano
. As curvas de nível são círculos concêntricos com raio
para cada valor constante
. Graficamente, a superfície representada pela função é a metade superior de uma esfera de raio 1 centrada na origem.