Nos itens abaixo, determine o domínio, descreva as curvas de nível e represente graficamente as superfícies
f(x, y)=raiz1-x^2-y^2;

Passo 1

Beleza! Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função . Precisamos:
  1. Determinar o domínio: Ou seja, descobrir quais valores de e fazem a função existir.
  2. Descrever as curvas de nível: Essas são as curvas no plano onde a função assume um valor constante.
  3. Representar graficamente as superfícies: Fazer um desenho da função no espaço 3D.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de funções de duas variáveis, domínio de funções, curvas de nível e gráficos de superfícies.

Passo 2

Encontrando o domínio da função:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de 1 - x^2 - y^2 >= 0 e x^2 + y^2 <= 1 para os quais a função está definida. No caso da nossa função , o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Então, temos:
Rearranjando:
Isso descreve um círculo de raio 1 no plano , incluindo a borda. Portanto, o domínio da função é todos os pares que estão dentro ou na fronteira desse círculo.

Passo 3

Descrevendo as curvas de nível:
Curvas de nível são as curvas no plano f(x, y) = c implies raiz1 - x^2 - y^2 = c onde a função 1 - x^2 - y^2 = c^2 tem o mesmo valor constante. Vamos chamar esse valor de x^2 + y^2 = 1 - c^2 .
Então, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Essa é a equação de um círculo com raio . Isso significa que para cada valor de , temos uma curva de nível que é um círculo com raio dependente de . Quanto maior o valor de , menor o raio do círculo.

Passo 4

Representando graficamente as superfícies:
A função descreve uma superfície no espaço tridimensional. Vamos entender como ela se comporta:
  • Forma geral: A equação pode ser rearranjada para . Se elevarmos ambos os lados ao quadrado, obtemos , que é a equação de uma esfera de raio 1 centrada na origem.
  • Superfície representada: Apenas a parte onde , porque a raiz quadrada dá valores não negativos. Portanto, a superfície é a metade superior de uma esfera de raio 1.
Graficamente, você pode imaginar uma bola onde estamos vendo apenas a parte de cima, sem a parte de baixo.

Resposta

Resumindo, o domínio da função é o conjunto de todos os pontos dentro ou na fronteira do círculo de raio 1 no plano . As curvas de nível são círculos concêntricos com raio para cada valor constante . Graficamente, a superfície representada pela função é a metade superior de uma esfera de raio 1 centrada na origem.

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