1. a) sumk=1^+infty k1+k^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série numérica sumk=1^+inftyk1+k^2. O conteúdo é teste de convergência de séries infinitas e vamos precisar comparar com a série harmônica.

Passo 2

Vamos usar o teste da comparação por limite. Definimos ak=k1+k^2 e escolhemos bk=1k, pois conhecemos que sum bk (a série harmônica) diverge.

Passo 3

Calculamos o limite
limkto+inftyakbk=limkto+inftyk1+k^21k=limkto+inftyk^21+k^2=1
Como esse limite é um número finito e não nulo, pelo teste de comparação por limite ambas séries têm o mesmo comportamento.

Passo 4

A série harmônica sumk=1^+infty1k é divergente, logo a nossa série sumk=1^+inftyk1+k^2 também diverge.

Resposta

A série diverge.

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