Encontre todos os pontos críticos das funções abaixo e mostre que estes são ou máximos ou mínimos relativos
g(x)=3 x^5 / 3-15 x^2 / 3

Passo 1

No enunciado, temos a função g(x)=3 x^{5/3}−15 x^{2/3}. O conteúdo é determinação de pontos críticos e classificação em máximos ou mínimos relativos, e vamos precisar calcular derivadas primeiras e segundas, além de analisar onde g′(x)=0 ou não existe.

Passo 2

Começamos calculando a derivada primeira. Aplicando a regra de potência em cada termo, obtemos:
g'(x)=3cdot53x^2/3-15cdot23x^-1/3=5x^2/3-10x^-1/3=5x^-1/3(x-2)

Passo 3

Os pontos críticos ocorrem quando g′(x)=0 ou g′(x) não existe. Da expressão acima, vemos que g′(x)=0 ⇔ x−2=0 ⇒ x=2, e que g′(x) não existe em x=0 (devido ao termo x^{-1/3}).

Passo 4

Para classificar em x=2, calculamos a derivada segunda:
g''(x)=ddxl(5x^2/3-10x^-1/3r)=5cdot23x^-1/3-10cdotl(-tfrac13r)x^-4/3=103x^-1/3+103x^-4/3=103x^-4/3(x+1)

Passo 5

Em x=2 temos g’’(2)=\tfrac{10}{3}·2^{-4/3}·3>0, logo é mínimo relativo.

Passo 6

Em x=0 a derivada segunda não existe, então usamos o teste de sinais de g′(x)=5x^{-1/3}(x-2): para x<0 temos x^{-1/3}<0 e x-2<0 ⇒ g′(x)>0; para 0<x<2 temos x^{-1/3}>0 e x-2<0 ⇒ g′(x)<0. Há troca de crescente para decrescente, indicando máximo relativo em x=0.

Resposta

Os pontos críticos são x=0 (máximo relativo) e x=2 (mínimo relativo).

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