Encontre todos os pontos críticos das funções abaixo e mostre que estes são ou máximos ou mínimos relativos
Passo 1
No enunciado, temos a função g(x)=3 x^{5/3}−15 x^{2/3}. O conteúdo é determinação de pontos críticos e classificação em máximos ou mínimos relativos, e vamos precisar calcular derivadas primeiras e segundas, além de analisar onde g′(x)=0 ou não existe.
Passo 2
Começamos calculando a derivada primeira. Aplicando a regra de potência em cada termo, obtemos:
Passo 3
Os pontos críticos ocorrem quando g′(x)=0 ou g′(x) não existe. Da expressão acima, vemos que g′(x)=0 ⇔ x−2=0 ⇒ x=2, e que g′(x) não existe em x=0 (devido ao termo x^{-1/3}).
Passo 4
Para classificar em x=2, calculamos a derivada segunda:
Passo 5
Em x=2 temos g’’(2)=\tfrac{10}{3}·2^{-4/3}·3>0, logo é mínimo relativo.
Passo 6
Em x=0 a derivada segunda não existe, então usamos o teste de sinais de g′(x)=5x^{-1/3}(x-2): para x<0 temos x^{-1/3}<0 e x-2<0 ⇒ g′(x)>0; para 0<x<2 temos x^{-1/3}>0 e x-2<0 ⇒ g′(x)<0. Há troca de crescente para decrescente, indicando máximo relativo em x=0.
Resposta
Os pontos críticos são x=0 (máximo relativo) e x=2 (mínimo relativo).