Nos itens abaixo, determine os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem. Classifique cada ponto crítico.
Passo 1
Temos a EDO autônoma de primeira ordem
. O conteúdo é pontos críticos (equilíbrios), classificação (estável ou instável) e retrato de fase. Para resolver, vamos precisar achar as raízes de
e usar a derivada
para classificar cada equilíbrio, além de analisar o sinal de
nos intervalos.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
.
Logo, os pontos críticos são
Passo 3
A classificação usa
. Avaliando em cada equilíbrio:
- Em
: , logo é um ponto atraente (estável). - Em
: , logo é um ponto repelente (instável).
Passo 4
Para o retrato de fase, analisamos o sinal de
em cada intervalo:
- Para
: e ⇒ , setas apontam para cima. - Para
: e ⇒ , setas apontam para baixo. - Para
: e ⇒ , setas apontam para cima.
Assim, na reta, marcamos 0 e 3 e colocamos setas → para, ← entre 0 e 3 e → para .
Resposta
Pontos críticos: y=0 (estável) e y=3 (instável).
Retrato de fase na reta y: ← para 0<y<3 e → para y<0 e y>3.
Retrato de fase na reta y: ← para 0<y<3 e → para y<0 e y>3.