Nos itens abaixo, determine os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem. Classifique cada ponto crítico.
d yd x=y^2-3 y

Passo 1

Temos a EDO autônoma de primeira ordem dydx=y^2-3y. O conteúdo é pontos críticos (equilíbrios), classificação (estável ou instável) e retrato de fase. Para resolver, vamos precisar achar as raízes de f(y)=y^2-3y e usar a derivada f'(y) para classificar cada equilíbrio, além de analisar o sinal de f(y) nos intervalos.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos f(y)=y^2-3y=0.
y^2-3y=0
y(y-3)=0
Logo, os pontos críticos são y=0 e y=3.

Passo 3

A classificação usa f'(y)=ddy(y^2-3y)=2y-3. Avaliando em cada equilíbrio:
  • Em y=0: f'(0)=2cdot0-3=-3<0, logo é um ponto atraente (estável).
  • Em y=3: f'(3)=2cdot3-3=3>0, logo é um ponto repelente (instável).

Passo 4

Para o retrato de fase, analisamos o sinal de f(y)=y(y-3) em cada intervalo:
  • Para y<0: y<0 e y-3<0 f(y)>0, setas apontam para cima.
  • Para 0: y>0 e y-3<0 f(y)<0, setas apontam para baixo.
  • Para y>3: y>0 e y-3>0 f(y)>0, setas apontam para cima.
    Assim, na reta, marcamos 0 e 3 e colocamos setas → para y<0, ← entre 0 e 3 e → para y>3.

Resposta

Pontos críticos: y=0 (estável) e y=3 (instável).
Retrato de fase na reta y: ← para 0<y<3 e → para y<0 e y>3.

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