Nos itens abaixo, determine os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem. Classifique cada ponto crítico.
d yd x=y^2-y^3

Passo 1

A equação é uma ODE autônoma de primeira ordem:
Precisamos encontrar os equilíbrios (pontos críticos) onde
dydx=f(y)=y^2-y^3=0
e, em seguida, analisar a estabilidade e desenhar o retrato de fase na reta de y.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, resolvemos
y^2-y^3= y^2(1-y)=0
Logo temos duas soluções:
y=0 (com multiplicidade 2) e y=1.

Passo 3

Agora estudamos o sinal de f(y)=y^2(1-y) nos intervalos:
  • Para y<0: y^2>0 e 1-y>0, então f(y)>0.
  • Para 0: y^2>0 e 1-y>0, então f(y)>0.
  • Para y>1: y^2>0 e 1-y<0, então f(y)<0.

Passo 4

Com base nesse sinal:
  • Em y=0: à esquerda f>0 (trajetórias sobem em direção a 0) e à direita f>0 (trajetórias sobem e se afastam de 0). Isso indica ponto semiestável.
  • Em y=1: para y<1, f>0 (trajetórias vão em direção a 1) e para y>1, f<0 (também vão em direção a 1). Isso indica ponto assintoticamente estável.

Passo 5

O retrato de fase na reta de y fica assim:
  • Setas apontando para a direita (crescimento de y) em y<1.
  • Setas apontando para a esquerda (decrescimento de y) em y>1.
Com equilíbrios em y=0 e y=1, onde y=0 é semiestável e y=1 é estável.

Resposta

Pontos críticos: y=0 (semeiestável) e y=1 (assintoticamente estável). No retrato de fase: setas para a direita em y<1 e para a esquerda em y>1.

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