Nos itens abaixo, determine os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem. Classifique cada ponto crítico.
Passo 1
A equação é uma ODE autônoma de primeira ordem:
Precisamos encontrar os equilíbrios (pontos críticos) onde
e, em seguida, analisar a estabilidade e desenhar o retrato de fase na reta de y.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, resolvemos
Logo temos duas soluções:
Passo 3
Agora estudamos o sinal de
nos intervalos:
- Para
: e , então . - Para
: e , então . - Para
: e , então .
Passo 4
Com base nesse sinal:
-
Em
: à esquerda (trajetórias sobem em direção a 0) e à direita (trajetórias sobem e se afastam de 0). Isso indica ponto semiestável. -
Em
: para , (trajetórias vão em direção a 1) e para , (também vão em direção a 1). Isso indica ponto assintoticamente estável.
Passo 5
O retrato de fase na reta de
fica assim:
- Setas apontando para a direita (crescimento de
) em . - Setas apontando para a esquerda (decrescimento de
) em .
Com equilíbrios em
e
, onde
é semiestável e
é estável.
Resposta
Pontos críticos: y=0 (semeiestável) e y=1 (assintoticamente estável). No retrato de fase: setas para a direita em y<1 e para a esquerda em y>1.