Nos itens abaixo, determine os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem. Classifique cada ponto crítico.
Passo 1
O problema nos dá a EDO autônoma de primeira ordem
e pede para achar os pontos críticos (equilíbrios), montar o retrato de fase e classificar a estabilidade. Vamos usar a definição de ponto crítico em autônomas, derivadas de
e análise de sinal para classificar.
Passo 2
Precisamos achar os pontos onde
. Resolvendo
tem-se
, logo o único ponto crítico é
Passo 3
Para ver se esse ponto é hiperpólico, calculamos a derivada de
:
Em
temos
, então o ponto é não-hiperpólico e precisamos de análise de sinal de
.
Passo 4
Vejamos o sinal de
: como é uma potência de grau par,
para todo
, e só zera em
. Portanto:
- Para
, → (solução sobe em direção a ). - Para
, → (solução sobe e se afasta de ).
Passo 5
O retrato de fase (linha de fases) fica assim: uma só linha vertical em
como equilíbrio, com setas apontando para cima (positivo) tanto abaixo quanto acima de
. Soluções que começam em
crescem até se aproximar de 2; soluções em
crescem sem limite.
Passo 6
Como as soluções vêm de baixo e se aproximam de
, mas de cima se afastam, o equilíbrio em
é estável de um lado e instável do outro. Chamamos isso de ponto crítico semiestável (meia-estável).
Resposta
O único ponto crítico é y=2. No retrato de fase há setas para cima em ambas as regiões (y<2 e y>2). O ponto y=2 é semiestável (estável por um lado e instável pelo outro).