Nos itens abaixo, determine os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem. Classifique cada ponto crítico.
d yd x=(y-2)^4

Passo 1

O problema nos dá a EDO autônoma de primeira ordem dydx=(y-2)^4 e pede para achar os pontos críticos (equilíbrios), montar o retrato de fase e classificar a estabilidade. Vamos usar a definição de ponto crítico em autônomas, derivadas de f(y) e análise de sinal para classificar.

Passo 2

Precisamos achar os pontos onde dydx=0. Resolvendo
(y-2)^4=0
tem-se y-2=0, logo o único ponto crítico é
y=2

Passo 3

Para ver se esse ponto é hiperpólico, calculamos a derivada de f(y)=(y-2)^4:
f'(y)=4(y-2)^3
Em y=2 temos f'(2)=0, então o ponto é não-hiperpólico e precisamos de análise de sinal de f(y).

Passo 4

Vejamos o sinal de f(y)=(y-2)^4: como é uma potência de grau par, f(y)>=0 para todo y, e só zera em y=2. Portanto:
  • Para y<2, f(y)>0 dy/dx>0 (solução sobe em direção a y=2).
  • Para y>2, f(y)>0 dy/dx>0 (solução sobe e se afasta de y=2).

Passo 5

O retrato de fase (linha de fases) fica assim: uma só linha vertical em y=2 como equilíbrio, com setas apontando para cima (positivo) tanto abaixo quanto acima de y=2. Soluções que começam em y<2 crescem até se aproximar de 2; soluções em y>2 crescem sem limite.

Passo 6

Como as soluções vêm de baixo e se aproximam de y=2, mas de cima se afastam, o equilíbrio em y=2 é estável de um lado e instável do outro. Chamamos isso de ponto crítico semiestável (meia-estável).

Resposta

O único ponto crítico é y=2. No retrato de fase há setas para cima em ambas as regiões (y<2 e y>2). O ponto y=2 é semiestável (estável por um lado e instável pelo outro).

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