Nos itens abaixo, determine os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem. Classifique cada ponto crítico.
Passo 1
O problema é uma EDO autônoma de primeira ordem dada por
. Vamos precisar encontrar os pontos de equilíbrio resolvendo
, onde
, e depois classificar cada ponto usando
.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, igualamos
a zero e resolvemos:
As raízes são
Logo os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Agora calculamos a derivada de
para classificar a estabilidade:
Em
Passo 4
Em
temos
, logo
é um ponto de equilíbrio estável (atrator).
Passo 5
Para o retrato de fase no eixo
:
- Para
, escolhemos : , então as soluções decrescem (seta para baixo). - Entre
, por exemplo : , soluções crescem (seta para cima). - Para
, por exemplo : , soluções decrescem (seta para baixo).
Resposta
Os pontos críticos são y=−2 (instável) e y=5 (estável). O retrato de fase indica: seta para baixo em y<−2, seta para cima em −2<y<5, e seta para baixo em y>5.