Nos itens abaixo, determine os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem. Classifique cada ponto crítico.
d yd x=10+3 y-y^2

Passo 1

O problema é uma EDO autônoma de primeira ordem dada por dydx=10+3y-y^2. Vamos precisar encontrar os pontos de equilíbrio resolvendo f(y)=0, onde f(y)=10+3y-y^2, e depois classificar cada ponto usando f'(y).

Passo 2

Para achar os pontos críticos, igualamos f(y)=10+3y-y^2 a zero e resolvemos:
y^2-3y-10=0
As raízes são
y=3pmraiz9+402=3pm72
Logo os pontos críticos são y=-2 e y=5.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de f(y) para classificar a estabilidade:
f'(y)=ddy(10+3y-y^2)=3-2y
Em y=-2 temos f'(-2)=3-2(-2)=7>0, portanto y=-2 é um ponto de equilíbrio instável (repulsor).

Passo 4

Em y=5 temos f'(5)=3-2cdot5=3-10=-7<0, logo y=5 é um ponto de equilíbrio estável (atrator).

Passo 5

Para o retrato de fase no eixo y:
  • Para y<-2, escolhemos y=-3: f(-3)=-8<0, então as soluções decrescem (seta para baixo).
  • Entre -2, por exemplo y=0: f(0)=10>0, soluções crescem (seta para cima).
  • Para y>5, por exemplo y=6: f(6)=-8<0, soluções decrescem (seta para baixo).

Resposta

Os pontos críticos são y=−2 (instável) e y=5 (estável). O retrato de fase indica: seta para baixo em y<−2, seta para cima em −2<y<5, e seta para baixo em y>5.

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