Nos itens abaixo, determine os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem. Classifique cada ponto crítico.
Passo 1
A equação diferencial é autônoma de primeira ordem, pois a derivada
depende apenas de
. Vamos precisar achar os pontos em que
(equilíbrios), analisar o sinal de
em cada região para desenhar o retrato de fase e calcular
para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
Isso dá as soluções
Logo, os pontos críticos são
.
Passo 3
Agora estudamos o sinal de
em cada intervalo:
Intervalo
aqui
logo
. Como
, temos
(setas apontam para baixo, ou seja
decresce).
Intervalo
cá
e
então
(setas para cima,
cresce).
Intervalo
de modo semelhante
dá
(setas para cima).
Intervalo
temos
logo
e
(setas para baixo).
Passo 4
Para classificar, calculamos
Então avaliamos em cada equilíbrio:
Em
logo é instável (repelidor).
Em
derivada nula indica semiestabilidade; confirmamos que de um lado as soluções entram e do outro saem.
Em
portanto estável (atrator).
Resposta
Pontos críticos: y=−2, 0 e 2.
Retrato de fase em y (eixo horizontal):
(−∞) ←── −2 ←── 0 ──→ 2 ←── (+∞)
(−∞) ←── −2 ←── 0 ──→ 2 ←── (+∞)
Classificação:
−2 é instável (repelidor),
0 é semiestável,
2 é estável (atrator).
−2 é instável (repelidor),
0 é semiestável,
2 é estável (atrator).