Nos itens abaixo, determine os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem. Classifique cada ponto crítico.
d yd x=y^2(4-y^2)

Passo 1

A equação diferencial é autônoma de primeira ordem, pois a derivada dy/dx depende apenas de y. Vamos precisar achar os pontos em que dy/dx=0 (equilíbrios), analisar o sinal de f(y)=y^2(4-y^2) em cada região para desenhar o retrato de fase e calcular f'(y) para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
y^2(4 - y^2) = 0
Isso dá as soluções
y^2 = 0 implies y=0,
4 - y^2 = 0 implies y = pm2
Logo, os pontos críticos são y=-2,;0,;2.

Passo 3

Agora estudamos o sinal de f(y)=y^2(4-y^2) em cada intervalo:
Intervalo ( -infty, -2 ): aqui y^2>4 logo 4-y^2<0. Como y^2>0, temos f(y)<0 (setas apontam para baixo, ou seja y decresce).
Intervalo (-2,0): y^2<4 e y^2>0 então f(y)>0 (setas para cima, y cresce).
Intervalo (0,2): de modo semelhante 0 f(y)>0 (setas para cima).
Intervalo (2,infty): temos y^2>4 logo 4-y^2<0 e f(y)<0 (setas para baixo).

Passo 4

Para classificar, calculamos
f'(y)=ddyl[y^2(4-y^2)r]=2y(4-y^2)+y^2(-2y)=8y-4y^3=4y(2-y^2)
Então avaliamos em cada equilíbrio:
Em y=-2:
f'(-2)=4(-2)(2-4)=4(-2)(-2)=16>0,
logo é instável (repelidor).
Em y=0:
f'(0)=4cdot0cdot(2-0)=0,
derivada nula indica semiestabilidade; confirmamos que de um lado as soluções entram e do outro saem.
Em y=2:
f'(2)=4cdot2cdot(2-4)=8cdot(-2)=-16<0,
portanto estável (atrator).

Resposta

Pontos críticos: y=−2, 0 e 2.
Retrato de fase em y (eixo horizontal):
(−∞) ←── −2 ←── 0 ──→ 2 ←── (+∞)
Classificação:
−2 é instável (repelidor),
0 é semiestável,
2 é estável (atrator).

Exercícios relacionados