Nos itens abaixo, determine os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem. Classifique cada ponto crítico.
Passo 1
O enunciado pede para a gente analisar a equação diferencial autônoma de 1ª ordem
e determinar os pontos críticos (equilíbrios), montar o retrato de fase e classificar cada ponto conforme sua estabilidade. Vamos usar conceitos de equações autônomas: pontos críticos são as raízes de
e a estabilidade se deduz pelo sinal de
em cada intervalo.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, resolvemos
o que dá três soluções:
Passo 3
Em seguida, fazemos a análise de sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos críticos. Escolhendo um valor de teste em cada intervalo:
- Para
: , , ⇒ produto negativo ⇒ . - Para
: , , ⇒ produto positivo ⇒ . - Para
: , , ⇒ produto negativo ⇒ . - Para
: , , ⇒ produto positivo ⇒ .
Passo 4
Com base nesses sinais, classificamos a estabilidade:
-
: à esquerda ( ) (sai de 0) e à direita ( ) (sai de 0) ⇒ ponto-fonte (instável). -
: à esquerda ( ) (entra em 2) e à direita ( ) (entra em 2) ⇒ ponto-sumidouro (estável). -
: à esquerda ( ) (sai de 4) e à direita ( ) (sai de 4) ⇒ ponto-fonte (instável).
Passo 5
No retrato de fase, desenhamos o eixo
e marcamos 0, 2 e 4, com setas apontando conforme o sinal de
:
- Para
: seta para baixo - Entre 0 e 2: seta para cima
- Entre 2 e 4: seta para baixo
- Para
: seta para cima
Isso resume o comportamento qualitativo da solução em cada região.
Resposta
Pontos críticos:
(instável/fontes),
(estável/sumidouro),
(instável/fontes).
Retrato de fase: no eixo , as setas vão para baixo em
, para cima em
, para baixo em
e para cima em
.
Retrato de fase: no eixo