Nos itens abaixo, determine os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem. Classifique cada ponto crítico.
d yd x=y(2-y)(4-y)

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a equação diferencial autônoma de 1ª ordem
dydx=y(2-y)(4-y)
e determinar os pontos críticos (equilíbrios), montar o retrato de fase e classificar cada ponto conforme sua estabilidade. Vamos usar conceitos de equações autônomas: pontos críticos são as raízes de f(y)=0 e a estabilidade se deduz pelo sinal de f(y) em cada intervalo.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, resolvemos
y(2-y)(4-y)=0
o que dá três soluções:
y=0, y=2, y=4

Passo 3

Em seguida, fazemos a análise de sinal de
f(y)=y(2-y)(4-y)
nos intervalos determinados pelos pontos críticos. Escolhendo um valor de teste em cada intervalo:
  • Para y<0: y<0, 2-y>0, 4-y>0 ⇒ produto negativo ⇒ f(y)<0.
  • Para 0: y>0, 2-y>0, 4-y>0 ⇒ produto positivo ⇒ f(y)>0.
  • Para 2: y>0, 2-y<0, 4-y>0 ⇒ produto negativo ⇒ f(y)<0.
  • Para y>4: y>0, 2-y<0, 4-y<0 ⇒ produto positivo ⇒ f(y)>0.

Passo 4

Com base nesses sinais, classificamos a estabilidade:
  • y=0: à esquerda ( y<0) f(y)<0 (sai de 0) e à direita ( 0) f(y)>0 (sai de 0) ⇒ ponto-fonte (instável).
  • y=2: à esquerda ( 0) f(y)>0 (entra em 2) e à direita ( 2) f(y)<0 (entra em 2) ⇒ ponto-sumidouro (estável).
  • y=4: à esquerda ( 2) f(y)<0 (sai de 4) e à direita ( y>4) f(y)>0 (sai de 4) ⇒ ponto-fonte (instável).

Passo 5

No retrato de fase, desenhamos o eixo y e marcamos 0, 2 e 4, com setas apontando conforme o sinal de f(y):
  • Para y<0: seta para baixo
  • Entre 0 e 2: seta para cima
  • Entre 2 e 4: seta para baixo
  • Para y>4: seta para cima
    Isso resume o comportamento qualitativo da solução em cada região.

Resposta

Pontos críticos: y=0 (instável/fontes), y=2 (estável/sumidouro), y=4 (instável/fontes).
Retrato de fase: no eixo y, as setas vão para baixo em y<0, para cima em 0, para baixo em 2 e para cima em y>4.

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