Resolva a EDO dada.
sen
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para resolver a EDO (ou seja, encontrar todas as funções
que satisfazem essa igualdade).
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A EDO está escrita na forma
. - Não foi dada condição inicial, então queremos a solução geral (todas as soluções possíveis).
- Atenção: se em algum momento dividirmos por
ou por , precisamos lembrar que isso só vale quando não for zero.
Passo 2
Verificar soluções constantes óbvias (casos singulares).
Se então
e
, logo a equação fica
, verdadeira. Portanto
Se
é uma solução da EDO. Como a separação das variáveis exigirá dividir por
, esse caso precisa ser tratado separadamente (já que não se pode dividir por zero).
Passo 3
Assumir agora
e, localmente,
(para poder dividir por
). Reescrevendo a EDO isolando
:
Trata-se de uma EDO separável: podemos separar as variáveis
e
. Escrevendo
, obtemos
Aqui a ideia é passar todos os termos com
para o lado esquerdo e todos os termos com
para o lado direito, para integrar cada lado em sua variável.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Calculamos as primitivas:
- Para o lado esquerdo:
. - Para o lado direito:
.
Juntando e absorvendo constantes (podemos colocar todas as constantes num só lado), obtemos
onde
é uma constante arbitrária real (resultante de combinar
e
).
Passo 5
Isolar
. Multiplicando por
e invertendo:
(com
, ainda uma constante arbitrária). Então
Para simplificar a notação podemos renomear
como
. Assim a família de soluções obtida pela separação é
Passo 6
Condições de validade e observações:
- Na separação dividimos por
, portanto a famíla acima não gera a solução . Por isso devemos listar separadamente (já feito no Passo 2). - A solução
só está definida onde o denominador é diferente de zero, isto é, em intervalos onde
Quando em algum ponto
tivermos
, a solução tem singularidade (polo) nesse ponto e só é válida em intervalos que não contenham esse
.
- Verificação rápida: derivando
dá . Calculando obtém-se . Soma das duas parcelas é zero, confirmando que a expressão satisfaz a EDO onde definida.
Passo 7
Resumo final das soluções (generalização e casos especiais):
- Solução trivial:
. - Solução geral não-nula:
definida em intervalos onde
.