Resolva a EDO dada.
y^{\prime}+y^{2} sen x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' + y^{2}\sin x = 0
e pede para resolver a EDO (ou seja, encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa igualdade).
Informações relevantes dadas:
  • A EDO está escrita na forma y' + y^{2}\sin x = 0.
  • Não foi dada condição inicial, então queremos a solução geral (todas as soluções possíveis).
  • Atenção: se em algum momento dividirmos por y ou por y^{2}, precisamos lembrar que isso só vale quando y não for zero.

Passo 2

Verificar soluções constantes óbvias (casos singulares).
Se y(x)\equiv 0 então y'=0 e y^{2}\sin x=0, logo a equação fica 0+0=0, verdadeira. Portanto
y(x)\equiv 0
é uma solução da EDO. Como a separação das variáveis exigirá dividir por y^{2}, esse caso precisa ser tratado separadamente (já que não se pode dividir por zero).

Passo 3

Assumir agora y(x)\not\equiv 0 e, localmente, y(x)\neq 0 (para poder dividir por y^{2}). Reescrevendo a EDO isolando y':
y' = -y^{2}\sin x.
Trata-se de uma EDO separável: podemos separar as variáveis y e x. Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = -y^{2}\sin x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^{2}} = -\sin x\,dx.
Aqui a ideia é passar todos os termos com y para o lado esquerdo e todos os termos com x para o lado direito, para integrar cada lado em sua variável.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Calculamos as primitivas:
  • Para o lado esquerdo: \displaystyle \int \frac{dy}{y^{2}} = \int y^{-2}\,dy = -\frac{1}{y} + C_1.
  • Para o lado direito: \displaystyle \int -\sin x\,dx = \cos x + C_2.
Juntando e absorvendo constantes (podemos colocar todas as constantes num só lado), obtemos
-\frac{1}{y} = \cos x + C,
onde C é uma constante arbitrária real (resultante de combinar C_1 e C_2).

Passo 5

Isolar y. Multiplicando por -1 e invertendo:
\frac{1}{y} = -\cos x + C'
(com C'=-C, ainda uma constante arbitrária). Então
y(x) = \frac{1}{C' - \cos x}.
Para simplificar a notação podemos renomear C' como C. Assim a família de soluções obtida pela separação é
y(x)=\frac{1}{C-\cos x},\qquad C\in\mathbb{R}.

Passo 6

Condições de validade e observações:
  • Na separação dividimos por y^{2}, portanto a famíla acima não gera a solução y\equiv 0. Por isso devemos listar y\equiv 0 separadamente (já feito no Passo 2).
  • A solução y(x)=\dfrac{1}{C-\cos x} só está definida onde o denominador é diferente de zero, isto é, em intervalos onde
C-\cos x \neq 0.
Quando em algum ponto x_{0} tivermos C-\cos x_{0}=0, a solução tem singularidade (polo) nesse ponto e só é válida em intervalos que não contenham esse x_{0}.
  • Verificação rápida: derivando y(x)=(C-\cos x)^{-1} y'=-\dfrac{\sin x}{(C-\cos x)^{2}}. Calculando y^{2}\sin x obtém-se \dfrac{\sin x}{(C-\cos x)^{2}}. Soma das duas parcelas é zero, confirmando que a expressão satisfaz a EDO onde definida.

Passo 7

Resumo final das soluções (generalização e casos especiais):
  • Solução trivial: y(x)\equiv 0.
  • Solução geral não-nula:
y(x)=\frac{1}{C-\cos x},\qquad C\in\mathbb{R},
definida em intervalos onde C-\cos x\neq 0.

Resposta

y(x)\equiv 0
y(x)=\dfrac{1}{C-\cos x},\\ C\in\mathbb{R}, com C-\cos x\neq 0 (domínio restringido aos intervalos onde o denominador não se anula).

Exercícios relacionados