Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série infinita
é convergente ou divergente. Se for convergente, precisa-se encontrar a sua soma. Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - Não há outras restrições ou condições; é a soma direta desses termos para
.
Passo 2
Primeiro lembrete importante (teste necessário para convergência): se uma série
converge, então o termo geral
deve tender a
quando
; isto é,
é uma condição necessária (mas não suficiente) para convergência. Se esse limite não for
, a série diverge imediatamente. Vamos calcular o limite do termo geral desta série.
Passo 3
Calcular os limites das parcelas que compõem
:
porque
e
. Por outro lado,
pois
cresce exponencialmente. Somando os dois limites (um vai a
e o outro a
) obtemos
Como esse limite não é
(na verdade é infinito), a condição necessária para convergência falha.
Passo 4
Pela observação do passo anterior, usando o teste do termo geral (também chamado de teste da divergência): se
então
diverge. Logo a série dada diverge.
Passo 5
Para fortalecer o entendimento: podemos olhar a série como soma de duas séries
A primeira é uma série geométrica convergente com razão
(porque
); tem soma
A segunda série tem termos
que não tendem a zero (na verdade tendem a
), logo essa segunda série diverge. A soma de uma série convergente com outra divergente é divergente. Isso confirma a conclusão do passo anterior.
Resposta
Divergente.