Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(e^{-n}+e^{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(e^{-n}+e^{n}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, precisa-se encontrar a sua soma. Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n = e^{-n}+e^{n}.
  • Não há outras restrições ou condições; é a soma direta desses termos para n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Primeiro lembrete importante (teste necessário para convergência): se uma série \sum a_n converge, então o termo geral a_n deve tender a 0 quando n\to\infty; isto é,
\lim_{n\to\infty} a_n = 0
é uma condição necessária (mas não suficiente) para convergência. Se esse limite não for 0, a série diverge imediatamente. Vamos calcular o limite do termo geral desta série.

Passo 3

Calcular os limites das parcelas que compõem a_n:
\lim_{n\to\infty} e^{-n}=0,
porque e^{-n}=(1/e)^{n} e 1/e\in(0,1). Por outro lado,
\lim_{n\to\infty} e^{n}=+\infty,
pois e^{n} cresce exponencialmente. Somando os dois limites (um vai a 0 e o outro a +\infty) obtemos
\lim_{n\to\infty} \bigl(e^{-n}+e^{n}\bigr)=+\infty.
Como esse limite não é 0 (na verdade é infinito), a condição necessária para convergência falha.

Passo 4

Pela observação do passo anterior, usando o teste do termo geral (também chamado de teste da divergência): se \lim_{n\to\infty} a_n\neq 0 então \sum a_n diverge. Logo a série dada diverge.

Passo 5

Para fortalecer o entendimento: podemos olhar a série como soma de duas séries
\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n}\quad\text{e}\quad\sum_{n=1}^{\infty} e^{n}.
A primeira é uma série geométrica convergente com razão r=e^{-1} (porque |r|<1); tem soma
\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n}=\frac{e^{-1}}{1-e^{-1}}=\frac{1}{e-1}.
A segunda série tem termos e^{n} que não tendem a zero (na verdade tendem a +\infty), logo essa segunda série diverge. A soma de uma série convergente com outra divergente é divergente. Isso confirma a conclusão do passo anterior.

Resposta

Divergente.

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