Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série infinita
é convergente ou divergente. Se for convergente, quer a soma total dessa série. As informações dadas são exatamente os termos gerais da série: para cada
o termo é
. Não há outras condições escondidas.
Passo 2
Observação útil (linearidade das séries): se duas séries
e
são convergentes, então a série formada pela soma termo a termo
também é convergente e tem soma igual à soma das somas:
Aqui podemos aplicar isso com
e
, desde que mostremos que cada série individual converge.
Passo 3
As duas séries separadas são
Ambas são séries geométricas, porque seus termos têm a forma
com
e
, respectivamente. Vou agora lembrar e demonstrar a fórmula da soma de uma série geométrica para fixar bem a ideia.
Passo 4
Definição e fórmula da série geométrica: para um número real
, a série
converge e sua soma é
Demonstração rápida (método das somas parciais): o
-ésimo soma parcial é
Multiplicando por
obtém-se
Portanto
Como
, temos
, logo
Isso mostra convergência e dá a fórmula da soma.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao primeiro somatório com
:
Detalhe das contas: o numerador é
e o denominador é
; dividir dá
.
Passo 6
Aplicando a fórmula ao segundo somatório com
:
Detalhe das contas:
; dividir
por
resulta em
.
Passo 7
Como ambas as séries individuais convergem (são geométricas com
), pela linearidade das séries a série original converge e sua soma é a soma das duas somas encontradas:
Resposta
Convergente.