Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, quer a soma total dessa série. As informações dadas são exatamente os termos gerais da série: para cada n\ge1 o termo é \dfrac{1}{2^{n}}+\dfrac{1}{3^{n}}. Não há outras condições escondidas.

Passo 2

Observação útil (linearidade das séries): se duas séries \sum a_n e \sum b_n são convergentes, então a série formada pela soma termo a termo \sum (a_n+b_n) também é convergente e tem soma igual à soma das somas:
\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n+\sum_{n=1}^{\infty}b_n.
Aqui podemos aplicar isso com a_n=\dfrac{1}{2^n} e b_n=\dfrac{1}{3^n}, desde que mostremos que cada série individual converge.

Passo 3

As duas séries separadas são
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} \qquad\text{e}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}.
Ambas são séries geométricas, porque seus termos têm a forma r^{n} com r=\dfrac{1}{2} e r=\dfrac{1}{3}, respectivamente. Vou agora lembrar e demonstrar a fórmula da soma de uma série geométrica para fixar bem a ideia.

Passo 4

Definição e fórmula da série geométrica: para um número real |r|<1, a série
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}
converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Demonstração rápida (método das somas parciais): o N-ésimo soma parcial é
S_N=\sum_{n=1}^{N}r^{n}=r+r^{2}+\cdots+r^{N}.
Multiplicando por 1-r obtém-se
(1-r)S_N = r - r^{N+1}.
Portanto
S_N=\frac{r(1-r^{N})}{1-r}.
Como |r|<1, temos \lim_{N\to\infty}r^{N}=0, logo
\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{r}{1-r}.
Isso mostra convergência e dá a fórmula da soma.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao primeiro somatório com r=\dfrac{1}{2}:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} =\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1.
Detalhe das contas: o numerador é \dfrac{1}{2} e o denominador é 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}; dividir dá 1.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao segundo somatório com r=\dfrac{1}{3}:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n} =\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{2}.
Detalhe das contas: 1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}; dividir \tfrac{1}{3} por \tfrac{2}{3} resulta em \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Como ambas as séries individuais convergem (são geométricas com |r|<1), pela linearidade das séries a série original converge e sua soma é a soma das duas somas encontradas:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} =1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.

Resposta

Convergente.
\dfrac{3}{2}

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