Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série infinita
é convergente ou divergente. Se for convergente, devemos encontrar a soma. Informações dadas:
- O termo geral da série é
para . - Não há outras condições adicionais.
Passo 2
Lembrete fundamental (teste da n-ésima parcela, ou teste do termo geral): se uma série
converge, então necessariamente
Explicação didática: se a soma parcial
tende a um número finito quando
, então os termos individuais
devem tender a zero (a diferença entre duas quantidades que têm limite finito tende a zero). Portanto, um teste rápido: se
, a série diverge imediatamente. Esse teste é simples e muito útil na prova (sem ele, a série nunca pode convergir).
Passo 3
Calcule o limite do termo geral:
Como
, pelo teste do termo geral concluímos que a série diverge. Pronto — esse é o caminho mais direto e definitivo.
Passo 4
Para reforçar a intuição (e mostrar outra maneira): escreva a soma parcial
:
Sabendo que
tem limite finito quando
(é uma série convergente, como veremos no passo seguinte), o termo dominante é
que tende a
. Portanto
e a série diverge (explode para infinito).
Passo 5
Comentário didático extra (útil para provas): a parte
é um caso clássico de série p (série do tipo
). A regra é:
- se
, converge; - se
, diverge.
Aqui, então converge (e tem soma conhecida , informação bônus). Contudo, mesmo somando uma coisa finita ( ) com uma sequência cujas somas parciais crescem como , o resultado diverge. Em prova, basta o teste do termo geral; não é preciso citar a soma da série , só é útil para entender o comportamento.
Resposta
A série diverge (diverge para
).