Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n^{2}}+2\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{n^{2}}+2\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, devemos encontrar a soma. Informações dadas:
  • O termo geral da série é \,a_n=\dfrac{1}{n^{2}}+2\, para n=1,2,3,\dots.
  • Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Lembrete fundamental (teste da n-ésima parcela, ou teste do termo geral): se uma série \sum a_n converge, então necessariamente
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicação didática: se a soma parcial S_N=\sum_{n=1}^N a_n tende a um número finito quando N\to\infty, então os termos individuais a_n=S_n-S_{n-1} devem tender a zero (a diferença entre duas quantidades que têm limite finito tende a zero). Portanto, um teste rápido: se \lim_{n\to\infty} a_n\neq 0, a série diverge imediatamente. Esse teste é simples e muito útil na prova (sem ele, a série nunca pode convergir).

Passo 3

Calcule o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^{2}}+2\right) = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}} + \lim_{n\to\infty}2 = 0 + 2 = 2.
Como \lim_{n\to\infty} a_n = 2 \neq 0, pelo teste do termo geral concluímos que a série diverge. Pronto — esse é o caminho mais direto e definitivo.

Passo 4

Para reforçar a intuição (e mostrar outra maneira): escreva a soma parcial S_N:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n^{2}}+2\right) =\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{2}} + \sum_{n=1}^{N}2 =\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{2}} + 2N.
Sabendo que \sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{2}} tem limite finito quando N\to\infty (é uma série convergente, como veremos no passo seguinte), o termo dominante é 2N que tende a +\infty. Portanto S_N\to+\infty e a série diverge (explode para infinito).

Passo 5

Comentário didático extra (útil para provas): a parte \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} é um caso clássico de série p (série do tipo \sum 1/n^{p}). A regra é:
  • se p>1, \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{p}} converge;
  • se p\le 1, diverge.
    Aqui p=2>1, então \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge (e tem soma conhecida \dfrac{\pi^{2}}{6}, informação bônus). Contudo, mesmo somando uma coisa finita ( \pi^{2}/6) com uma sequência cujas somas parciais crescem como 2N, o resultado diverge. Em prova, basta o teste do termo geral; não é preciso citar a soma da série 1/n^{2}, só é útil para entender o comportamento.

Resposta

A série diverge (diverge para +\infty).

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