Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(\cos (n))^{2}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(\cos n)^{2}}{3^{n}}
é convergente ou divergente. Informações dadas:
  • O termo geral da série é \dfrac{(\cos n)^2}{3^n}.
  • Não há dependência de parâmetros; os índices são n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Vamos escolher um método: a abordagem mais direta aqui é usar comparação com uma série geométrica, porque o fator (\cos n)^2 é limitado (sempre entre 0 e 1). Antes de aplicar o teste de comparação, eu explico o que ele diz:
  • Teste da comparação (forma simples): se 0 \le a_n \le b_n para todo n a partir de algum ponto, e se \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
    Também lembro a fórmula da soma de uma série geométrica convergente: para |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Vou usar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Observação sobre (\cos n)^2: para todo n vale
0 \le (\cos n)^2 \le 1,
porque -1\le \cos n\le 1 e, ao elevar ao quadrado, obtém-se algo entre 0 e 1. Portanto, para todos n,
0 \le \frac{(\cos n)^2}{3^n} \le \frac{1}{3^n}.

Passo 4

Agora examine a série comparadora \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{3^n}. Esta é uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{3}, com |r|<1, logo converge. A soma (apenas para referência) é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}=\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Aplicando o teste da comparação: como 0 \le \dfrac{(\cos n)^2}{3^n} \le \dfrac{1}{3^n} e \sum \dfrac{1}{3^n} converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\cos n)^2}{3^n}
converge. Como os termos são não negativos, a convergência é também convergência absoluta (a absoluta de cada termo é o próprio termo).

Passo 6

Se quiser ver a soma exata dessa série, use a identidade trigonométrica
\cos^2 n=\frac{1+\cos(2n)}{2}.
Assim
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\cos n)^{2}}{3^{n}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2n)}{3^{n}}.
A primeira soma é \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}. Para a segunda, escrevemos \cos(2n)=\Re(e^{i2n}) e usamos a soma geométrica complexa:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2n)}{3^{n}}=\Re\!\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{e^{i2}}{3}\right)^{n}\right) =\Re\!\left(\frac{e^{i2}/3}{1-e^{i2}/3}\right).
Fazendo as contas (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado) obtém-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2n)}{3^{n}}=\frac{3\cos 2-1}{10-6\cos 2}.
Portanto a soma total é
S=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3\cos 2-1}{10-6\cos 2}.
Simplificando essa expressão chega-se à forma muito mais elegante
S=\frac{1}{5-3\cos 2}.
(Isto confirma também que a série é convergente, e dá o valor numérico aproximado S\approx 0{,}16006.)

Passo 7

Conclusão final: a série converge; mostrei isso pelo teste da comparação com a série geométrica \sum 1/3^n e, como extra, calculei a soma exata.

Resposta

Convergente.

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