Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série infinita
é convergente ou divergente. Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - Não há dependência de parâmetros; os índices são
.
Passo 2
Vamos escolher um método: a abordagem mais direta aqui é usar comparação com uma série geométrica, porque o fator
é limitado (sempre entre
e
). Antes de aplicar o teste de comparação, eu explico o que ele diz:
- Teste da comparação (forma simples): se
para todo a partir de algum ponto, e se converge, então também converge.
Também lembro a fórmula da soma de uma série geométrica convergente: para,
Vou usar essas ideias passo a passo.
Passo 3
Observação sobre
: para todo
vale
porque
e, ao elevar ao quadrado, obtém-se algo entre
e
. Portanto, para todos
,
Passo 4
Agora examine a série comparadora
. Esta é uma série geométrica com razão
, com
, logo converge. A soma (apenas para referência) é
Passo 5
Aplicando o teste da comparação: como
e
converge, segue que
converge. Como os termos são não negativos, a convergência é também convergência absoluta (a absoluta de cada termo é o próprio termo).
Passo 6
Se quiser ver a soma exata dessa série, use a identidade trigonométrica
Assim
A primeira soma é
. Para a segunda, escrevemos
e usamos a soma geométrica complexa:
Fazendo as contas (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado) obtém-se
Portanto a soma total é
Simplificando essa expressão chega-se à forma muito mais elegante
(Isto confirma também que a série é convergente, e dá o valor numérico aproximado
.)
Passo 7
Conclusão final: a série converge; mostrei isso pelo teste da comparação com a série geométrica
e, como extra, calculei a soma exata.
Resposta
Convergente.