Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} n^{2} e^{-n}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty} n^{2} e^{-n}
é convergente ou divergente. Informações relevantes que temos:
  • O termo geral é a_n = n^{2} e^{-n}.
  • Cada a_n>0 para todo n, logo a série é de termos positivos (podemos usar testes para séries de termos positivos).
  • A tarefa é apenas classificar convergência/divergência.

Passo 2

Vou escolher um método para testar convergência. Para séries de termos positivos com fatores exponenciais e polinomiais, o teste da razão (ou ratio test) é um método básico, rápido e eficaz: ele verifica se a série se comporta como uma geométrica. Vou explicar o teste antes de aplicá-lo.
O teste da razão (para séries de termos positivos) diz:
  • Seja a_n>0 e defina \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} quando esse limite existe.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
A ideia intuitiva: se \frac{a_{n+1}}{a_n} tende para um número menor que 1, os termos decaem geometricamente (como c^n com c<1), garantindo convergência.

Passo 3

Aplicando o teste da razão à nossa série. Tomamos a_n = n^{2} e^{-n} e calculamos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{2} e^{-(n+1)}}{n^{2} e^{-n}} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2} e^{-1}.
Aqui fiz duas coisas explícitas:
  • Separei o factor exponencial: e^{-(n+1)}/e^{-n}=e^{-1}.
  • Reescrevi o factor polinomial como ((n+1)/n)^2.

Passo 4

Agora calculo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2} e^{-1} = \left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}\right)\! e^{-1}.
Como \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2}=1, obtemos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=e^{-1}=\frac{1}{e}.
Recordando que e\approx 2{,}718, temos \dfrac{1}{e}\approx 0{,}3679<1.

Passo 5

Pelo teste da razão, como L=\dfrac{1}{e}<1, a série \sum_{n=1}^{+\infty} n^{2} e^{-n} converge.
Comentário didático rápido (intuição): a parte exponencial e^{-n} decai muito mais rápido que o crescimento polinomial de n^{2}; por isso os termos vão a zero rapidamente o suficiente para que a soma seja finita. O teste da razão formaliza essa comparação mostrando que a razão entre termos sucessivos tende a um número menor que 1, comportamento típico de uma série geométrica convergente.

Resposta

Convergente (convergência absoluta)

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