Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série infinita
é convergente ou divergente. Informações relevantes que temos:
- O termo geral é
. - Cada
para todo , logo a série é de termos positivos (podemos usar testes para séries de termos positivos). - A tarefa é apenas classificar convergência/divergência.
Passo 2
Vou escolher um método para testar convergência. Para séries de termos positivos com fatores exponenciais e polinomiais, o teste da razão (ou ratio test) é um método básico, rápido e eficaz: ele verifica se a série se comporta como uma geométrica. Vou explicar o teste antes de aplicá-lo.
O teste da razão (para séries de termos positivos) diz:
- Seja
e defina quando esse limite existe. - Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
A ideia intuitiva: se
tende para um número menor que 1, os termos decaem geometricamente (como
com
), garantindo convergência.
Passo 3
Aplicando o teste da razão à nossa série. Tomamos
e calculamos a razão
:
Aqui fiz duas coisas explícitas:
- Separei o factor exponencial:
. - Reescrevi o factor polinomial como
.
Passo 4
Agora calculo o limite quando
:
Como
, obtemos
Recordando que
, temos
.
Passo 5
Pelo teste da razão, como
, a série
converge.
Comentário didático rápido (intuição): a parte exponencial
decai muito mais rápido que o crescimento polinomial de
; por isso os termos vão a zero rapidamente o suficiente para que a soma seja finita. O teste da razão formaliza essa comparação mostrando que a razão entre termos sucessivos tende a um número menor que 1, comportamento típico de uma série geométrica convergente.
Resposta
Convergente (convergência absoluta)