Nos itens abaixo, determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=x^{3}+2 x y+y^{2}-5

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre os pontos críticos da função e classifique cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela para a função
f(x,y)=x^{3}+2xy+y^{2}-5.
Informações dadas:
  • A função é f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por \,f(x,y)=x^{3}+2xy+y^{2}-5.
    O que preciso devolver:
  • Todos os pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e a classificação de cada um (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).

Passo 2

Vou calcular as derivadas parciais primeiras. Lembre que a derivada parcial em relação a x é a derivada considerando y como constante, e vice-versa.
Derivada parcial em relação a x:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}+2xy+y^{2}-5\bigr)=3x^{2}+2y.
Derivada parcial em relação a y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+2xy+y^{2}-5\bigr)=2x+2y.
Estas derivadas formam o gradiente \nabla f=(f_x,f_y). Pontos críticos satisfazem \nabla f=(0,0).

Passo 3

Agora resolvo o sistema
\begin{cases} 3x^{2}+2y=0,\\[4pt] 2x+2y=0. \end{cases}
Da segunda equação \,2x+2y=0 obtemos
x+y=0\quad\Rightarrow\quad y=-x.
Substituo y=-x na primeira equação 3x^{2}+2y=0:
3x^{2}+2(-x)=0 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}-2x=0.
Colocando em fator:
x(3x-2)=0.
Portanto x=0 ou x=\tfrac{2}{3}. Correspondentes ys (usando y=-x) são y=0 e y=-\tfrac{2}{3}.
Logo, os pontos críticos são:
(0,0)\quad\text{e}\quad\Bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\Bigr).]

Passo 4

Para classificar cada ponto crítico uso o teste das derivadas segundas (teste de Hessiano para duas variáveis). Primeiro calcule as segundas derivadas parciais:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}+2y)=6x,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2x+2y)=2,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}+2y)=2.
O determinante do Hessiano em (x,y) é
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}= (6x)(2)-2^{2}=12x-4.
Regra de classificação (para duas variáveis):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 5

Avalio D e f_{xx} em (0,0).
D(0,0)=12\cdot 0-4=-4<0.
Como D<0, o ponto (0,0) é um ponto de sela.
Para referência, f(0,0)=0^{3}+2\cdot0\cdot0+0^{2}-5=-5, mas o valor da função só serve para comparar alturas, a classificação veio do sinal de D.

Passo 6

Agora avalio em \bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr).
Calculo D neste ponto:
D\!\left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right)=12\cdot\frac{2}{3}-4=8-4=4>0.
E
f_{xx}\!\left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right)=6\cdot\frac{2}{3}=4>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, pelo teste temos um mínimo local em \bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr).
Calculo também o valor da função nesse mínimo:
f\!\left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right)=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{3}+2\left(\tfrac{2}{3}\right)\left(-\tfrac{2}{3}\right)+\left(-\tfrac{2}{3}\right)^{2}-5.
Faço as contas passo a passo:
\left(\tfrac{2}{3}\right)^{3}=\tfrac{8}{27},\qquad 2\left(\tfrac{2}{3}\right)\left(-\tfrac{2}{3}\right)=-\tfrac{8}{9},\qquad \left(-\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{4}{9}.
Somando:
\tfrac{8}{27}-\tfrac{8}{9}+\tfrac{4}{9}-5=\tfrac{8}{27}-\tfrac{4}{9}-5.
Como \tfrac{4}{9}=\tfrac{12}{27}, fica
\tfrac{8}{27}-\tfrac{12}{27}-5=-\tfrac{4}{27}-5=-\tfrac{4}{27}-\tfrac{135}{27}=-\tfrac{139}{27}.
Portanto f\!\left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right)=-\tfrac{139}{27}.

Passo 7

Resumo interpretativo final (sem pular etapas): encontrei todos os pontos críticos resolvendo \nabla f=0, calculei o Hessiano e usei o determinante D e o sinal de f_{xx} para classificar. O resultado foi que há um ponto de sela em (0,0) e um mínimo local em \bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr). Não existem máximos locais nesta função.

Resposta

(0,0) — ponto de sela.
\Bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\Bigr) — mínimo local, com f\!\bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr)=-\tfrac{139}{27}.

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