Nos itens abaixo, determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre os pontos críticos da função e classifique cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela para a função
Informações dadas:
- A função é
definida por .
O que preciso devolver: - Todos os pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e a classificação de cada um (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).
Passo 2
Vou calcular as derivadas parciais primeiras. Lembre que a derivada parcial em relação a
é a derivada considerando
como constante, e vice-versa.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Estas derivadas formam o gradiente
. Pontos críticos satisfazem
.
Passo 3
Agora resolvo o sistema
Da segunda equação
obtemos
Substituo
na primeira equação
:
Colocando em fator:
Portanto
ou
. Correspondentes
s (usando
) são
e
.
Logo, os pontos críticos são:
Passo 4
Para classificar cada ponto crítico uso o teste das derivadas segundas (teste de Hessiano para duas variáveis). Primeiro calcule as segundas derivadas parciais:
O determinante do Hessiano em
é
Regra de classificação (para duas variáveis):
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Passo 5
Avalio
e
em
.
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Para referência,
, mas o valor da função só serve para comparar alturas, a classificação veio do sinal de
.
Passo 6
Agora avalio em
.
Calculo
neste ponto:
E
Como
e
, pelo teste temos um mínimo local em
.
Calculo também o valor da função nesse mínimo:
Faço as contas passo a passo:
Somando:
Como
, fica
Portanto
.
Passo 7
Resumo interpretativo final (sem pular etapas): encontrei todos os pontos críticos resolvendo
, calculei o Hessiano e usei o determinante
e o sinal de
para classificar. O resultado foi que há um ponto de sela em
e um mínimo local em
. Não existem máximos locais nesta função.