Nos itens abaixo, determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função
Informações dadas e o que precisa ser encontrado:
- A função está definida em todo
. - Pedir para achar todos os pontos críticos e classificá‑los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
- Também é útil dar o valor de
nesses pontos (para saber o valor máximo/minimo local).
Passo 2
Estratégia (método): para funções de duas variáveis vamos fazer o seguinte procedimento padrão:
- Encontrar os pontos críticos resolvendo
, ou seja, as equações e . - Para classificar cada ponto crítico usamos a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas:
- Calcular
(derivadas segundas). - Definir o discriminante
. - Se
e então é mínimo local. - Se
e então é máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo (precisaria de análise mais refinada).
Explicando rápido o motivo:dá candidatos. A Hessiana informa a curvatura local (sem mixed significa curvaturas em direções e separadas); o sinal de indica se as curvaturas têm o mesmo sinal (mínimo ou máximo) ou sinais opostos (sela).
- Calcular
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras (gradiente).
Para pontos críticos resolvemos o sistema
Dividindo por
(não muda as soluções), obtemos
Portanto as soluções para cada coordenada são
ou
(isto é,
), e o mesmo para
. Assim os pontos críticos são todas as combinações:
ou explicitamente os
pontos:
Passo 4
Calcular as derivadas segundas (componentes da Hessiana).
pois não há termo misto em
. Então o discriminante é
Vamos avaliar
em cada ponto crítico e aplicar o teste.
Passo 5
Avaliar no ponto
.
Como
e
, pelo teste das segundas temos que
é um máximo local.
Calcular o valor:
Calcular o valor:
Logo há um máximo local em
com valor
.
Passo 6
Avaliar nos pontos com uma coordenada
e a outra
: por exemplo
. (Os outros
terão comportamento análogo por simetria.)
Como
,
é ponto de sela. Pelo mesmo raciocínio:
são todos pontos de sela (porque em cada um uma das segundas derivadas vale
e a outra
, dando
).
Passo 7
Avaliar nos pontos
. Por exemplo
.
Como
e
,
é mínimo local. O mesmo vale para as três outras combinações
porque dependem só de
e
.
Calcular o valor em :
Calcular o valor em
Portanto em cada
temos
e são mínimos locais.
Passo 8
Resumo interpretativo e dica de prova:
- A função é simétrica em
e , por isso muitos pontos têm classificações por simetria. - Uma maneira prática para a prova: fatorar as derivadas primeiras como fizemos (
), assim achar as soluções fica rápido. - Para classificar, sempre calcule
e o discriminante . Como aqui , é produto de e , o que facilita a leitura do sinal. - Observe também os valores de
nos extremos locais: máximos locais são mais altos que entorno, mínimos locais são mais baixos que entorno; calcular nos pontos facilita conferir.
Resposta
Máximo local:
com valor
.
Mínimos locais:
com valor
.
Pontos de sela:
.