Nos itens abaixo, determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=x^{4}+y^{4}-2 x^{2}-2 y^{2}\

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função
f(x,y)=x^{4}+y^{4}-2x^{2}-2y^{2}.
Informações dadas e o que precisa ser encontrado:
  • A função está definida em todo \mathbb{R}^2.
  • Pedir para achar todos os pontos críticos e classificá‑los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
  • Também é útil dar o valor de f nesses pontos (para saber o valor máximo/minimo local).

Passo 2

Estratégia (método): para funções de duas variáveis vamos fazer o seguinte procedimento padrão:
  1. Encontrar os pontos críticos resolvendo \nabla f(x,y)=0, ou seja, as equações \dfrac{\partial f}{\partial x}=0 e \dfrac{\partial f}{\partial y}=0.
  2. Para classificar cada ponto crítico usamos a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas:
    • Calcular f_{xx}, f_{yy}, f_{xy} (derivadas segundas).
    • Definir o discriminante D(x,y)=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-\big(f_{xy}(x,y)\big)^2.
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local.
    • Se D<0 então é ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo (precisaria de análise mais refinada).
      Explicando rápido o motivo: \nabla f=0 dá candidatos. A Hessiana informa a curvatura local (sem mixed significa curvaturas em direções x e y separadas); o sinal de D indica se as curvaturas têm o mesmo sinal (mínimo ou máximo) ou sinais opostos (sela).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras (gradiente).
\frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}-4x=4x(x^{2}-1),
\frac{\partial f}{\partial y}=4y^{3}-4y=4y(y^{2}-1).
Para pontos críticos resolvemos o sistema
4x(x^{2}-1)=0,\qquad 4y(y^{2}-1)=0.
Dividindo por 4 (não muda as soluções), obtemos
x(x^{2}-1)=0,\qquad y(y^{2}-1)=0.
Portanto as soluções para cada coordenada são x=0 ou x^{2}=1 (isto é, x=\pm1), e o mesmo para y. Assim os pontos críticos são todas as combinações:
(x,y)\in\{0,\pm1\}\times\{0,\pm1\},
ou explicitamente os 9 pontos:
(0,0),\;(\pm1,0),\;(0,\pm1),\;(\pm1,\pm1).

Passo 4

Calcular as derivadas segundas (componentes da Hessiana).
f_{xx}=12x^{2}-4,\qquad f_{yy}=12y^{2}-4,\qquad f_{xy}=0,
pois não há termo misto em f. Então o discriminante é
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}=(12x^{2}-4)(12y^{2}-4).
Vamos avaliar f_{xx},f_{yy},D em cada ponto crítico e aplicar o teste.

Passo 5

Avaliar no ponto (0,0).
f_{xx}(0,0)=12\cdot0^{2}-4=-4,
f_{yy}(0,0)=-4,
D(0,0)=(-4)(-4)=16>0.
Como D>0 e f_{xx}=-4<0, pelo teste das segundas temos que (0,0) é um máximo local.
Calcular o valor:
f(0,0)=0^{4}+0^{4}-2\cdot0^{2}-2\cdot0^{2}=0.
Logo há um máximo local em (0,0) com valor 0.

Passo 6

Avaliar nos pontos com uma coordenada \pm1 e a outra 0: por exemplo (1,0). (Os outros (-1,0),(0,1),(0,-1) terão comportamento análogo por simetria.)
f_{xx}(1,0)=12\cdot1^{2}-4=8,
f_{yy}(1,0)=12\cdot0^{2}-4=-4,
D(1,0)=8\cdot(-4)=-32<0.
Como D<0, (1,0) é ponto de sela. Pelo mesmo raciocínio:
(-1,0),(0,1),(0,-1)
são todos pontos de sela (porque em cada um uma das segundas derivadas vale 8 e a outra -4, dando D<0).

Passo 7

Avaliar nos pontos (\pm1,\pm1). Por exemplo (1,1).
f_{xx}(1,1)=12\cdot1^{2}-4=8,
f_{yy}(1,1)=8,
D(1,1)=8\cdot8=64>0.
Como D>0 e f_{xx}=8>0, (1,1) é mínimo local. O mesmo vale para as três outras combinações (1,-1),(-1,1),(-1,-1) porque dependem só de x^{2} e y^{2}.
Calcular o valor em (1,1):
f(1,1)=1^{4}+1^{4}-2\cdot1^{2}-2\cdot1^{2}=1+1-2-2=-2.
Portanto em cada (\pm1,\pm1) temos f=-2 e são mínimos locais.

Passo 8

Resumo interpretativo e dica de prova:
  • A função é simétrica em x e y, por isso muitos pontos têm classificações por simetria.
  • Uma maneira prática para a prova: fatorar as derivadas primeiras como fizemos ( 4x(x^{2}-1)), assim achar as soluções fica rápido.
  • Para classificar, sempre calcule f_{xx},f_{yy} e o discriminante D. Como aqui f_{xy}=0, D é produto de f_{xx} e f_{yy}, o que facilita a leitura do sinal.
  • Observe também os valores de f nos extremos locais: máximos locais são mais altos que entorno, mínimos locais são mais baixos que entorno; calcular f nos pontos facilita conferir.

Resposta

Máximo local: (0,0) com valor f(0,0)=0.
Mínimos locais: (1,1),\;(1,-1),\;(-1,1),\;(-1,-1) com valor f(\pm1,\pm1)=-2.
Pontos de sela: (1,0),\;(-1,0),\;(0,1),\;(0,-1).

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