Nos itens abaixo, determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
O enunciado pede: “determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função”. A função fornecida é
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é explícita em
e . - A expressão do expoente é
.
O objetivo é encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é nulo), e classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 2
Conceito importante (aula rapidinha): ponto crítico de
em duas variáveis é um ponto
onde as derivadas parciais primeiras se anulam:
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo) e
é a derivada parcial em relação a
. Para classificar um ponto crítico usaremos a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas:
- Se
e então é máximo local. - Se
e então é mínimo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras. Usamos a regra do produto / cadeia: a exponencial nunca zera, então as derivadas terão um fator
.
Derivando em
:
Derivando em
:
Passo 4
Encontrar pontos críticos: resolver
e
simultaneamente. Observação útil: para todo
tem-se
, logo podemos dividir por essa exponencial sem perder soluções. Assim as equações são equivalentes a
Da primeira vem
. Da segunda vem
. Portanto existe um único ponto crítico:
Passo 5
Agora calculamos as derivadas segundas (componentes da Hessiana). Partindo de
com
, aplicamos produto/ cadeia:
Mas como
substituímos:
De forma análoga, a partir de
:
E a derivada mista:
Passo 6
Avaliar as segundas derivadas no ponto crítico
. Primeiro o valor de
nesse ponto:
Agora as segundas derivadas:
Passo 7
Calcular
e aplicar o teste das derivadas segundas:
Como
e
, pelo teste a conclusão é que
é um máximo local.
Passo 8
Comentário didático extra (útil para prova): é possível ver diretamente que esse máximo local é também um máximo global porque o expoente pode ser reescrito completando o quadrado:
Logo
com igualdade somente quando
e
. Isso mostra que
atinge o valor máximo global
apenas em
. Quanto ao mínimo global, a função é sempre positiva e tende a
quando
, portanto não existe mínimo global alcançado (infimum é
, não atingido).
Resposta
Máximo local:
com valor
.
Mínimos locais: nenhum.
Pontos de sela: nenhum.
Mínimos locais: nenhum.
Pontos de sela: nenhum.