Nos itens abaixo, determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=e^{4 y-x^{2}-y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede: “determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função”. A função fornecida é
f(x,y)=e^{4y-x^{2}-y^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é explícita em x e y.
  • A expressão do expoente é 4y-x^{2}-y^{2}.
    O objetivo é encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é nulo), e classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 2

Conceito importante (aula rapidinha): ponto crítico de f em duas variáveis é um ponto (x,y) onde as derivadas parciais primeiras se anulam:
f_x(x,y)=0,\qquad f_y(x,y)=0.
Aqui f_x é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo) e f_y é a derivada parcial em relação a y. Para classificar um ponto crítico usaremos a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas:
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras. Usamos a regra do produto / cadeia: a exponencial nunca zera, então as derivadas terão um fator f(x,y).
f(x,y)=e^{4y-x^{2}-y^{2}}.
Derivando em x:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{4y-x^{2}-y^{2}}\bigr)=(-2x)\,e^{4y-x^{2}-y^{2}}.
Derivando em y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{4y-x^{2}-y^{2}}\bigr)=(4-2y)\,e^{4y-x^{2}-y^{2}}.

Passo 4

Encontrar pontos críticos: resolver f_x=0 e f_y=0 simultaneamente. Observação útil: para todo (x,y) tem-se e^{4y-x^{2}-y^{2}}>0, logo podemos dividir por essa exponencial sem perder soluções. Assim as equações são equivalentes a
-2x=0,\qquad 4-2y=0.
Da primeira vem x=0. Da segunda vem y=2. Portanto existe um único ponto crítico:
(0,2).

Passo 5

Agora calculamos as derivadas segundas (componentes da Hessiana). Partindo de f_x=(-2x)f com f=e^{4y-x^{2}-y^{2}}, aplicamos produto/ cadeia:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl((-2x)f\bigr) = -2f + (-2x)f_x.
Mas como f_x=(-2x)f substituímos:
f_{xx} = -2f + (-2x)(-2x)f = f\bigl(-2 + 4x^{2}\bigr).
De forma análoga, a partir de f_y=(4-2y)f:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl((4-2y)f\bigr) = -2f + (4-2y)f_y = f\bigl(-2 + (4-2y)^{2}\bigr).
E a derivada mista:
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_x\bigr)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl((-2x)f\bigr)=(-2x)f_y = f\bigl(-2x(4-2y)\bigr).

Passo 6

Avaliar as segundas derivadas no ponto crítico (0,2). Primeiro o valor de f nesse ponto:
f(0,2)=e^{4\cdot 2 - 0^{2} - 2^{2}}=e^{8-4}=e^{4}.
Agora as segundas derivadas:
f_{xx}(0,2)=f(0,2)\bigl(-2+4\cdot 0^{2}\bigr)=e^{4}(-2)=-2e^{4},
f_{yy}(0,2)=f(0,2)\bigl(-2+(4-2\cdot 2)^{2}\bigr)=e^{4}(-2+0)= -2e^{4},
f_{xy}(0,2)=f(0,2)\bigl(-2\cdot 0(4-2\cdot 2)\bigr)=0.

Passo 7

Calcular D(0,2) e aplicar o teste das derivadas segundas:
D(0,2)=f_{xx}(0,2)\,f_{yy}(0,2)-\bigl(f_{xy}(0,2)\bigr)^{2}=(-2e^{4})(-2e^{4})-0=4e^{8}>0.
Como D>0 e f_{xx}(0,2)=-2e^{4}<0, pelo teste a conclusão é que (0,2) é um máximo local.

Passo 8

Comentário didático extra (útil para prova): é possível ver diretamente que esse máximo local é também um máximo global porque o expoente pode ser reescrito completando o quadrado:
4y-x^{2}-y^{2} = -x^{2} - (y^{2}-4y) = -x^{2} - (y-2)^{2} + 4.
Logo
f(x,y)=e^{4}\,e^{-x^{2}-(y-2)^{2}}\le e^{4},
com igualdade somente quando x=0 e y=2. Isso mostra que f atinge o valor máximo global e^{4} apenas em (0,2). Quanto ao mínimo global, a função é sempre positiva e tende a 0 quando \|(x,y)\|\to\infty, portanto não existe mínimo global alcançado (infimum é 0, não atingido).

Resposta

Máximo local: (0,2) com valor e^{4}.
Mínimos locais: nenhum.
Pontos de sela: nenhum.

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