Usando a regra da substituição resolva os seguintes itens:
(1,0 ponto) Calcule a seguinte integral indefinida
(1,0 ponto) Calcule a seguinte integral indefinida
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Não há limites (é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Ideia da substituição (explicação didática): quando dentro de uma raiz aparece uma expressão afim em
(aqui
), é natural tentar a substituição que transforma essa expressão numa nova variável
. Isso simplifica a raiz e, geralmente, transforma
em algo proporcional a
, facilitando a integral.
Escolhe-se a substituição
Agora vamos obter
e expressar
em função de
.
Passo 3
Calcular
e
em função de
:
Também isolamos
:
Então
Logo
Passo 4
Trocar tudo por
: a raiz fica
. Substituindo na integral:
Colocando constantes fora da integral:
Multiplicando
pelo polinômio:
Portanto
Passo 5
Integrar termo a termo usando a regra da potência: para
(válida quando
). Aplicando para cada expoente:
- Para
: - Para
: - Para
:
Agora juntamos com os coeficientes:
Fatorando o
:
Passo 6
Voltar à variável
usando
. Substituindo:
Podemos simplificar os coeficientes multiplicando
em cada termo: