Usando a regra da substituição resolva os seguintes itens:
(1,0 ponto) Calcule a seguinte integral indefinida \int \sqrt{4 x+3}\left(x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \sqrt{4x+3}\,\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \sqrt{4x+3}\,(x^{2}+1).
  • Não há limites (é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Ideia da substituição (explicação didática): quando dentro de uma raiz aparece uma expressão afim em x (aqui 4x+3), é natural tentar a substituição que transforma essa expressão numa nova variável u. Isso simplifica a raiz e, geralmente, transforma dx em algo proporcional a du, facilitando a integral.
Escolhe-se a substituição
u=4x+3.
Agora vamos obter du e expressar x em função de u.

Passo 3

Calcular du e x em função de u:
du = 4\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{4}.
Também isolamos x:
x=\frac{u-3}{4}.
Então
x^{2}=\left(\frac{u-3}{4}\right)^{2}=\frac{(u-3)^{2}}{16}=\frac{u^{2}-6u+9}{16}.
Logo
x^{2}+1=\frac{u^{2}-6u+9}{16}+1=\frac{u^{2}-6u+9+16}{16}=\frac{u^{2}-6u+25}{16}.

Passo 4

Trocar tudo por u: a raiz fica \sqrt{4x+3}=\sqrt{u}=u^{1/2}. Substituindo na integral:
\int \sqrt{4x+3}\,\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = \int u^{1/2}\cdot\frac{u^{2}-6u+25}{16}\cdot\frac{du}{4}.
Colocando constantes fora da integral:
= \frac{1}{64}\int u^{1/2}\bigl(u^{2}-6u+25\bigr)\,du.
Multiplicando u^{1/2} pelo polinômio:
u^{1/2}\bigl(u^{2}-6u+25\bigr)=u^{5/2}-6u^{3/2}+25u^{1/2}.
Portanto
\int \sqrt{4x+3}\,(x^{2}+1)\,dx = \frac{1}{64}\int\bigl(u^{5/2}-6u^{3/2}+25u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 5

Integrar termo a termo usando a regra da potência: para \int u^{\alpha}\,du = \dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C (válida quando \alpha\neq -1). Aplicando para cada expoente:
  • Para u^{5/2}: \displaystyle \int u^{5/2}\,du = \frac{u^{7/2}}{7/2}=\frac{2}{7}u^{7/2}.
  • Para u^{3/2}: \displaystyle \int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}u^{5/2}.
  • Para u^{1/2}: \displaystyle \int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Agora juntamos com os coeficientes:
\frac{1}{64}\left(\frac{2}{7}u^{7/2}-6\cdot\frac{2}{5}u^{5/2}+25\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\right)+C.
Fatorando o 2:
= \frac{1}{64}\cdot 2\left(\frac{1}{7}u^{7/2}-\frac{6}{5}u^{5/2}+\frac{25}{3}u^{3/2}\right)+C.
= \frac{1}{32}\left(\frac{1}{7}u^{7/2}-\frac{6}{5}u^{5/2}+\frac{25}{3}u^{3/2}\right)+C.

Passo 6

Voltar à variável x usando u=4x+3. Substituindo:
\int \sqrt{4x+3}\,(x^{2}+1)\,dx = \frac{1}{32}\left(\frac{1}{7}(4x+3)^{7/2}-\frac{6}{5}(4x+3)^{5/2}+\frac{25}{3}(4x+3)^{3/2}\right)+C.
Podemos simplificar os coeficientes multiplicando 1/32 em cada termo:
= \frac{1}{224}(4x+3)^{7/2}-\frac{3}{80}(4x+3)^{5/2}+\frac{25}{96}(4x+3)^{3/2}+C.

Resposta

\frac{1}{224}(4x+3)^{7/2}-\frac{3}{80}(4x+3)^{5/2}+\frac{25}{96}(4x+3)^{3/2}+C

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