Nos itens abaixo, determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. \quad f(x, y)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y}+x y, \quad x>0 e y>0
Passo 1
O que o enunciado pede:
Determinar os pontos críticos de f no domínio dado e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações fornecidas:
A função é \displaystyle f(x,y)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y}+x y.
O domínio é \,x>0 e y>0.
Passo 2
Encontrar os pontos críticos: calcular as derivadas parciais primeiras e igualá‑las a zero.
Primeiro, lembrar regras de derivação usadas:
Se [g(x)=x^{n}) então g'(x)=n x^{n-1}.
Para x^{-2} usa‑se a regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}.
Derivada de 1/y em relação a y é -1/y^{2}.
Derivada de xy em relação a x é y e em relação a y é x (tratando a outra variável como constante).
Além disso f_{xx}(x^{*},y^{*})=\dfrac{6}{2^{8/5}}>0. Logo, pelo teste do Hessiano, o ponto é um mínimo local.
Passo 6
Ver se esse mínimo local é também mínimo global (argumento intuitivo e rigoroso).
Observações sobre o comportamento de f:
Se x\to 0^{+} então \dfrac{1}{x^{2}}\to +\infty, logo f\to +\infty.
Se y\to 0^{+} então \dfrac{1}{y}\to +\infty, logo f\to +\infty.
Se x\to +\infty com y fixo positivo, o termo xy\to+\infty domina, então f\to+\infty. Simetricamente se y\to+\infty com x fixo positivo, xy\to+\infty.
Portanto, em todas as direções que levam à “fronteira” do domínio (e ao infinito), f tende a +\infty. Como há um único ponto crítico interior e a função não pode ter mínimo na fronteira (porque próximo à fronteira f é arbitrariamente grande), o mínimo local encontrado é, na prática, o mínimo absoluto (global) em x>0,y>0.
Não existem outros pontos críticos, logo não há máximos locais nem pontos de sela no domínio.
Passo 7
Calcular o valor mínimo da função no ponto encontrado.