Nos itens abaixo, determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
\quad f(x, y)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y}+x y, \quad x>0 e y>0

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar os pontos críticos de f no domínio dado e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações fornecidas:
  • A função é \displaystyle f(x,y)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y}+x y.
  • O domínio é \,x>0 e y>0.

Passo 2

Encontrar os pontos críticos: calcular as derivadas parciais primeiras e igualá‑las a zero.
Primeiro, lembrar regras de derivação usadas:
  • Se [g(x)=x^{n}) então g'(x)=n x^{n-1}.
  • Para x^{-2} usa‑se a regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}.
  • Derivada de 1/y em relação a y é -1/y^{2}.
  • Derivada de xy em relação a x é y e em relação a y é x (tratando a outra variável como constante).
Agora as parciais:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y}+xy\right)=-\frac{2}{x^{3}}+y.
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y}+xy\right)=-\frac{1}{y^{2}}+x.
Pontos críticos satisfazem o sistema
\begin{cases} -\dfrac{2}{x^{3}}+y=0,\\[6pt] -\dfrac{1}{y^{2}}+x=0, \end{cases}
com (x>0,;y>0].]

Passo 3

Resolver o sistema para achar o(s) ponto(s) crítico(s).
Da segunda equação:
-\frac{1}{y^{2}}+x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{y^{2}}.
Como y>0, podemos escrever y=\dfrac{1}{\sqrt{x}} (inverso da relação).
Substituir na primeira equação:
-\frac{2}{x^{3}}+y=0 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{2}{x^{3}}.
Igualando as duas expressões para y:
\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{2}{x^{3}}.
Multiplicar ambos os lados por x^{3}:
x^{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}=2 \quad\Rightarrow\quad x^{3-\tfrac{1}{2}}=2 \quad\Rightarrow\quad x^{5/2}=2.
Tomando potência 2/5 em ambos os lados:
x=2^{2/5}.
Então
y=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}=2^{-1/5}.
Portanto existe um único ponto crítico no domínio:
\left(x^{*},y^{*}\right)=\left(2^{2/5},\,2^{-1/5}\right).

Passo 4

Classificação do ponto crítico usando as segundas derivadas (matriz Hessiana).
Calcular as segundas derivadas:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(-\frac{2}{x^{3}}+y\right)=\frac{6}{x^{4}}.
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{2}{x^{3}}+y\right)=1.
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{1}{y^{2}}+x\right)=\frac{2}{y^{3}}.
A matriz Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{6}{x^{4}} & 1\\[6pt] 1 & \dfrac{2}{y^{3}} \end{pmatrix}.
O teste padrão em duas variáveis: calcular o determinante
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^{2}.
Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local; se D>0 e f_{xx}<0 máximo local; se D<0 ponto de sela.]

Passo 5

Avaliar as segundas derivadas no ponto \left(2^{2/5},2^{-1/5}\right).
Calcular f_{xx} no ponto:
f_{xx}(x^{*},y^{*})=\frac{6}{(2^{2/5})^{4}}=\frac{6}{2^{8/5}}.
Calcular f_{yy} no ponto:
f_{yy}(x^{*},y^{*})=\frac{2}{(2^{-1/5})^{3}}=\frac{2}{2^{-3/5}}=2\cdot 2^{3/5}=2^{1+3/5}=2^{8/5}.
Agora o produto:
f_{xx}f_{yy}=\frac{6}{2^{8/5}}\cdot 2^{8/5}=6.
E como f_{xy}=1,
D(x^{*},y^{*})=6-1=5>0.
Além disso f_{xx}(x^{*},y^{*})=\dfrac{6}{2^{8/5}}>0. Logo, pelo teste do Hessiano, o ponto é um mínimo local.

Passo 6

Ver se esse mínimo local é também mínimo global (argumento intuitivo e rigoroso).
Observações sobre o comportamento de f:
  • Se x\to 0^{+} então \dfrac{1}{x^{2}}\to +\infty, logo f\to +\infty.
  • Se y\to 0^{+} então \dfrac{1}{y}\to +\infty, logo f\to +\infty.
  • Se x\to +\infty com y fixo positivo, o termo xy\to+\infty domina, então f\to+\infty. Simetricamente se y\to+\infty com x fixo positivo, xy\to+\infty.
Portanto, em todas as direções que levam à “fronteira” do domínio (e ao infinito), f tende a +\infty. Como há um único ponto crítico interior e a função não pode ter mínimo na fronteira (porque próximo à fronteira f é arbitrariamente grande), o mínimo local encontrado é, na prática, o mínimo absoluto (global) em x>0,y>0.
Não existem outros pontos críticos, logo não há máximos locais nem pontos de sela no domínio.

Passo 7

Calcular o valor mínimo da função no ponto encontrado.
Avaliar f em \left(x^{*},y^{*}\right):
f\big(2^{2/5},2^{-1/5}\big)=\frac{1}{(2^{2/5})^{2}}+\frac{1}{2^{-1/5}}+2^{2/5}\cdot 2^{-1/5}.
Simplificando potências:
\frac{1}{(2^{2/5})^{2}}=\frac{1}{2^{4/5}}=2^{-4/5},
\frac{1}{2^{-1/5}}=2^{1/5},
2^{2/5}\cdot 2^{-1/5}=2^{1/5}.
Somando:
f\big(2^{2/5},2^{-1/5}\big)=2^{-4/5}+2^{1/5}+2^{1/5}=2^{-4/5}+2\cdot 2^{1/5}=2^{-4/5}+2^{6/5}.
(se preferir, numericamente isso é aproximadamente 2{,}8714).

Resposta

Mínimo local (e global): \left(2^{2/5},\,2^{-1/5}\right) com valor f=2^{-4/5}+2^{6/5}.
Máximos locais: nenhum.
Pontos de sela: nenhum.

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