Nos itens abaixo, determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=\sqrt[3]{x^{2}+2 x y+4 y^{2}-6 x-12 y}\

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função
f(x,y)=\sqrt[3]{x^{2}+2xy+4y^{2}-6x-12y}.
Informações dadas (aproveitando a escrita em termos de uma função composta):
  • A função é f(x,y)=h(g(x,y)) com g(x,y)=x^{2}+2xy+4y^{2}-6x-12y e h(t)=\sqrt[3]{t}=t^{1/3}.
  • O que se pede: encontrar pontos onde f tem mínimo local, máximo local, e pontos de sela (ou seja, pontos tais que em qualquer vizinhança a função assume valores maiores e menores que no ponto).

Passo 2

Observação importante (estratégia): a função h(t)=t^{1/3} é estritamente crescente em \mathbb{R} (para quaisquer a<b vale a^{1/3}<b^{1/3}). Por isso valores relativos de f seguem exatamente os de g: pontos onde g atinge um mínimo local corresponderão a mínimos locais de f; pontos onde g atinge máximo local corresponderão a máximos locais de f. Além disso, onde g muda de sinal, f também muda de sinal (já que a raiz cúbica preserva sinal) — isso ajuda a identificar pontos de sela. Portanto é suficiente estudar a quadrática g(x,y) (mais simples) e depois transportar a conclusão para f.

Passo 3

Calcular os pontos críticos de g\) (gradiente igual a zero): \[g_x = \frac{\partial g}{\partial x}=2x+2y-6,\qquad g_y = \frac{\partial g}{\partial y}=2x+8y-12.
Resolvendo o sistema g_x=0,\;g_y=0:
\begin{cases} 2x+2y-6=0\\[4pt] 2x+8y-12=0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x+y=3\\[4pt] x+4y=6 \end{cases}
Subtraindo as equações: 3y=3\Rightarrow y=1\]. Então \(x=2. Logo o único ponto crítico de g é (2,1). Avaliando g ali:
g(2,1)=2^{2}+2\cdot2\cdot1+4\cdot1^{2}-6\cdot2-12\cdot1=4+4+4-12-12=-12.
Como h é crescente, o valor correspondente de f é
f(2,1)=\sqrt[3]{-12}=-\sqrt[3]{12}.]

Passo 4

Classificar o ponto crítico usando o Hessiano de g. O Hessiano (matriz das segundas derivadas) de g é constante:
H_g=\begin{pmatrix} g_{xx} & g_{xy} \\[4pt] g_{yx} & g_{yy} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 2 \\[4pt] 2 & 8 \end{pmatrix}.
Verificar definitude: o menor principal g_{xx}=2>0 e o determinante \det H_g=2\cdot8-2\cdot2=16-4=12>0. Portanto H_g é definido positivo, o que implica que g tem um mínimo estrito (na verdade global, por ser uma quadrática definida positiva) em (2,1). Como h é estritamente crescente, f também terá mínimo estrito em (2,1). Conclusão: (2,1) é mínimo local (e global) de f, com valor f(2,1)=-\sqrt[3]{12}.]

Passo 5

Provar que não há máximos locais: como g é uma forma quadrática definida positiva deslocada por termos lineares, tem comportamento \to +\infty quando \|(x,y)\|\to\infty; portanto não existe máximo global finito para g e, por monotonicidade de h, também não existe máximo local (nem global) finito para f. Assim, não há máximos locais de f.

Passo 6

Investigar pontos onde a derivada de f pode falhar (pontos com g(x,y)=0): a raiz cúbica tem derivada não definida em pontos onde g=0 (a derivada da composição envolve g^{-2/3}), por isso devemos analisar a curva de nível g(x,y)=0. Primeiro reescrevemos g em torno do centro (2,1) (completar quadrados ou deslocamento):
faça x=u+2,\;y=v+1. Substituindo em g obtém-se (cálculo direto)
g(u+2,v+1)=u^{2}+2uv+4v^{2}-12.
Logo a curva g(x,y)=0 é equivalente a
u^{2}+2uv+4v^{2}=12,
ou, voltando a x,y,
(x-2)^{2}+2(x-2)(y-1)+4(y-1)^{2}=12,
que é a equação de uma elipse centrada em (2,1). Em todos os pontos dessa elipse vale g=0 e portanto f=0.

Passo 7

Determinar se os pontos da elipse são pontos de sela (no sentido: em qualquer vizinhança aparecem valores maiores e menores que o valor no ponto). Primeiro notar que o gradiente de g só se anula em (2,1) (Passo 3); como (2,1) não está na elipse (ali g=-12\neq0), segue que em toda a elipse temos \nabla g\neq0. Pelo Teorema da função implícita, perto de qualquer ponto da elipse a função g muda de sinal — existem pontos onde g>0 e outros onde g<0. Como h(t)=t^{1/3} preserva sinal e é crescente, em qualquer vizinhança de um ponto da elipse a função f assume valores positivos e negativos, ou seja, assume valores maiores e menores que 0. Portanto cada ponto da elipse g(x,y)=0 é um ponto de sela para f (nem mínimo nem máximo).

Passo 8

Resumo final das conclusões (antes da resposta final): único ponto crítico diferenciável de f é (2,1), que é mínimo (estrito e global). Não há máximos locais. A curva g(x,y)=0 — uma elipse centrada em (2,1) dada por (x-2)^{2}+2(x-2)(y-1)+4(y-1)^{2}=12 — corresponde a pontos onde f=0 e que são pontos de sela no sentido indicado.

Resposta

Mínimo (local e global): (2,1) com f(2,1)=-\sqrt[3]{12}.
Máximos locais: nenhum.
Pontos de sela: todos os pontos da elipse \;x^{2}+2xy+4y^{2}-6x-12y=0\; (equivalente a (x-2)^{2}+2(x-2)(y-1)+4(y-1)^{2}=12).

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