Nos itens abaixo, determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função
Informações dadas (aproveitando a escrita em termos de uma função composta):
- A função é
com e . - O que se pede: encontrar pontos onde
tem mínimo local, máximo local, e pontos de sela (ou seja, pontos tais que em qualquer vizinhança a função assume valores maiores e menores que no ponto).
Passo 2
Observação importante (estratégia): a função
é estritamente crescente em
(para quaisquer
vale
). Por isso valores relativos de
seguem exatamente os de
: pontos onde
atinge um mínimo local corresponderão a mínimos locais de
; pontos onde
atinge máximo local corresponderão a máximos locais de
. Além disso, onde
muda de sinal,
também muda de sinal (já que a raiz cúbica preserva sinal) — isso ajuda a identificar pontos de sela. Portanto é suficiente estudar a quadrática
(mais simples) e depois transportar a conclusão para
.
Passo 3
Calcular os pontos críticos de
Resolvendo o sistema
:
Subtraindo as equações:
. Logo o único ponto crítico de
é
. Avaliando
ali:
Como
é crescente, o valor correspondente de
é
Passo 4
Classificar o ponto crítico usando o Hessiano de
. O Hessiano (matriz das segundas derivadas) de
é constante:
Verificar definitude: o menor principal
e o determinante
. Portanto
é definido positivo, o que implica que
tem um mínimo estrito (na verdade global, por ser uma quadrática definida positiva) em
. Como
é estritamente crescente,
também terá mínimo estrito em
. Conclusão:
é mínimo local (e global) de
, com valor
.]
Passo 5
Provar que não há máximos locais: como
é uma forma quadrática definida positiva deslocada por termos lineares, tem comportamento
quando
; portanto não existe máximo global finito para
e, por monotonicidade de
, também não existe máximo local (nem global) finito para
. Assim, não há máximos locais de
.
Passo 6
Investigar pontos onde a derivada de
pode falhar (pontos com
): a raiz cúbica tem derivada não definida em pontos onde
(a derivada da composição envolve
), por isso devemos analisar a curva de nível
. Primeiro reescrevemos
em torno do centro
(completar quadrados ou deslocamento):
faça . Substituindo em
obtém-se (cálculo direto)
faça
Logo a curva
é equivalente a
ou, voltando a
,
que é a equação de uma elipse centrada em
. Em todos os pontos dessa elipse vale
e portanto
.
Passo 7
Determinar se os pontos da elipse são pontos de sela (no sentido: em qualquer vizinhança aparecem valores maiores e menores que o valor no ponto). Primeiro notar que o gradiente de
só se anula em
(Passo 3); como
não está na elipse (ali
), segue que em toda a elipse temos
. Pelo Teorema da função implícita, perto de qualquer ponto da elipse a função
muda de sinal — existem pontos onde
e outros onde
. Como
preserva sinal e é crescente, em qualquer vizinhança de um ponto da elipse a função
assume valores positivos e negativos, ou seja, assume valores maiores e menores que
. Portanto cada ponto da elipse
é um ponto de sela para
(nem mínimo nem máximo).
Passo 8
Resumo final das conclusões (antes da resposta final): único ponto crítico diferenciável de
é
, que é mínimo (estrito e global). Não há máximos locais. A curva
— uma elipse centrada em
dada por
— corresponde a pontos onde
e que são pontos de sela no sentido indicado.
Resposta
Mínimo (local e global):
com
.
Máximos locais: nenhum.
Pontos de sela: todos os pontos da elipse (equivalente a
).
Máximos locais: nenhum.
Pontos de sela: todos os pontos da elipse