Questão 7

Resposta incompleta
Não avaliada
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Parte A) [60%]
Prove, precisamente (citando teoremas e resultados utilizados), o seguinte teorema
Teorema. Se \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=0 então \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0.
Insira aqui a sua opção \mathbf{1} (se você provou), \mathbf{0} (se você não provou) □ 0
Parte B) [40%] Considere a sequência dada por
a_{n}=(-1)^{n} \frac{\cos \left(n^{3}+6\right)}{n^{2}+7}
Determine \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}.
Insira aqui o valor do limite □
Obs.: Insira \boldsymbol{+} \mathbf{1 0 0 0} se o limite for +\infty, \boldsymbol{- 1 0 0 0} se o limite for -\infty.
Dica: note que |\cos (\cdots)| \leq 1 e use o Teorema da Parte 1.

Passo 1

O enunciado tem duas partes separadas. Vou listar claramente o que cada parte pede e quais dados são dados.
  • Parte A: Provar, citando teoremas e resultados utilizados, o seguinte teorema:
    \text{Se }\lim_{n\to\infty}\left|a_n\right|=0\text{ então }\lim_{n\to\infty}a_n=0.ã
    A pergunta prática do teste pede que se insira \mathbf{1} se a prova foi feita ou \mathbf{0} se não foi feita.
  • Parte B: Determinar o limite da sequência
    a_n = (-1)^n \frac{\cos\left(n^3+6\right)}{n^2+7},
    ou seja, calcular \lim_{n\to\infty} a_n. Há a dica de usar que |\cos(\cdots)|\le 1 e o Teorema da Parte A.
Todas as informações relevantes estão acima; começarei provando a Parte A e depois aplicarei o resultado na Parte B.

Passo 2

Prova (Passo inicial) — desigualdade básica envolvendo valor absoluto.
Para qualquer número real x vale sempre
-|x| \le x \le |x|.
Aplicando isso ao termo a_n obtemos, para todo n,
-|a_n| \le a_n \le |a_n|.
Explicação didática: o valor absoluto |a_n| é a distância de a_n até 0, então a_n está entre -|a_n| e |a_n|. Essa desigualdade vale termo a termo para toda sequência real \{a_n\}.

Passo 3

Citar resultados de limites usados.
Vou usar dois resultados padrão de teoria de sequências de números reais:
  1. Regra de multiplicação por constante: se \{b_n\} é uma sequência com \lim_{n\to\infty} b_n = L e c é constante, então
\lim_{n\to\infty} (c\cdot b_n) = c\cdot L.
Em particular, se \lim_{n\to\infty} b_n = 0 então \lim_{n\to\infty} (-b_n)=0.
  1. Teorema do Aperto (Squeeze Theorem / Teorema do Sanduíche): se \{u_n\},\{v_n\},\{w_n\} são sequências tal que, para todo n suficientemente grande,
u_n \le v_n \le w_n,
e se \lim_{n\to\infty} u_n = \lim_{n\to\infty} w_n = L, então \lim_{n\to\infty} v_n = L.
Ambos são teoremas padrão em cursos de análise elementar; irei aplicá‑los de forma explícita.

Passo 4

Aplicação dos resultados à Prova da Parte A.
Pela hipótese temos
\lim_{n\to\infty} |a_n| = 0.
Usando a regra de multiplicação por constante com c=-1 obtemos
\lim_{n\to\infty} \big(-|a_n|\big) = -\lim_{n\to\infty}|a_n| = -0 = 0.
Agora lembrando da desigualdade do Passo 2,
-|a_n| \le a_n \le |a_n|\quad\text{para todo }n.
Como \lim_{n\to\infty} -|a_n| = 0 e \lim_{n\to\infty} |a_n| = 0, pelo Teorema do Aperto concluímos que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Comentário didático: esse é exatamente o uso clássico do Teorema do Aperto — a sequência a_n fica “presa” entre duas sequências que convergem para o mesmo limite 0, logo ela também converge para 0.

Passo 5

Início da Parte B — analisar a sequência dada e encontrar uma desigualdade conveniente.
A sequência é
a_n = (-1)^n \frac{\cos\left(n^3+6\right)}{n^2+7}.
Primeiro uso a propriedade conhecida do cosseno: para todo argumento real t,
-1 \le \cos t \le 1 \quad\Longrightarrow\quad |\cos t|\le 1.
Assim, tomando valor absoluto de a_n,
|a_n| = \left|\;(-1)^n \frac{\cos\left(n^3+6\right)}{n^2+7}\;\right| = \frac{\left|\cos\left(n^3+6\right)\right|}{n^2+7} \le \frac{1}{n^2+7}.
Explicação: |(-1)^n|=1, e \big|\cos(n^3+6)\big|\le 1, por isso a desigualdade acima é válida para todo n.

Passo 6

Mostrar que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+7}=0.
Para n\ge 1 temos n^2+7 \ge n^2, portanto
0 \le \frac{1}{n^2+7} \le \frac{1}{n^2}.
É um resultado padrão (pode ser provado por comparação com integral ou simplesmente por propriedades de potência) que
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0.
Pelo Teorema do Aperto (usando as sequências 0 e 1/n^2 como extremas) segue que
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2+7} = 0.

Passo 7

Aplicar a Parte A para concluir o limite de a_n.
Do Passo 5 obtivemos
|a_n| \le \frac{1}{n^2+7},
e do Passo 6 sabemos \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2+7} = 0. Logo, por comparação,
\lim_{n\to\infty} |a_n| = 0.
Agora uso o teorema provado na Parte A: se \lim_{n\to\infty}|a_n|=0 então \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Portanto
\boxed{\lim_{n\to\infty} a_n = 0.}

Passo 8

Resumo breve e encorajamento final.
Resumo dos teoremas usados: propriedade do valor absoluto (desigualdade -|x|\le x\le |x|), regra de multiplicação por constante para limites, e o Teorema do Aperto (Squeeze Theorem). A Parte A foi provada de forma direta e a Parte B foi resolvida aplicando essa prova à sequência dada, depois de dominar a desigualdade que controla |a_n|.
Força aí — é exatamente esse tipo de raciocínio com desigualdades e o Teorema do Aperto que costuma aparecer em provas: achou uma boa desigualdade que leva a algo que tende a zero, então já era!

Resposta

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