Nos itens abaixo, efetue o estudo completo da função dada e, a seguir, esboce seu gráfico;
Passo 1
A função dada é
. Vamos estudar domínio, interceptos, derivadas, extremos, concavidade e, por fim, esboçar o gráfico usando teoria de derivadas e comportamento de polinômios.
Passo 2
O domínio de
é todo
. O intercepto com o eixo y é dado por
. Para os interceptos com o eixo x resolvemos
Fatorando, obtemos
Logo as raízes são
e as soluções de
, isto é
.
Passo 3
Calculamos a derivada primeira para analisar monotonicidade:
Temos pontos críticos em
e
. Fazendo o estudo de sinal de
:
- Para
, (função cresce). - Para
, (função decresce). - Para
, (função cresce).
Portanto há um máximo local eme um mínimo local em .
Passo 4
Para concavidade, usamos a segunda derivada:
Igualando a zero vem
. Verificando o sinal:
- Para
, (concavidade para baixo). - Para
, (concavidade para cima).
Logo existe ponto de inflexão em.
Passo 5
Juntando tudo:
- Comportamento assintótico:
quando e quando . - Interceptos com o eixo x em aproximadamente
, e ; intercepto com o eixo y em . - Máximo local em
e mínimo local em . - Ponto de inflexão em
.
Com esses dados, esboça-se um polinômio cúbico que cresce até, decresce até e cresce novamente, mudando de concavidade em .
Resposta
O gráfico é um polinômio cúbico que:
- cresce de
até o máximo local em , - decresce até o mínimo local em
, - cresce novamente para
,
passa pelos interceptos com o eixo x em aproximadamente, , , intercepta o eixo y em e muda de concavidade em .
Esse é o esboço do gráfico de.