Nos itens abaixo, efetue o estudo completo da função dada e, a seguir, esboce seu gráfico;
f(x)=x^3-3 x^2+2

Passo 1

A função dada é f(x)=x^3-3x^2+2. Vamos estudar domínio, interceptos, derivadas, extremos, concavidade e, por fim, esboçar o gráfico usando teoria de derivadas e comportamento de polinômios.

Passo 2

O domínio de f é todo R. O intercepto com o eixo y é dado por f(0)=2. Para os interceptos com o eixo x resolvemos
x^3-3x^2+2=0
Fatorando, obtemos
x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)
Logo as raízes são x=1 e as soluções de x^2-2x-2=0, isto é x=1pmraiz3.

Passo 3

Calculamos a derivada primeira para analisar monotonicidade:
f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)
Temos pontos críticos em x=0 e x=2. Fazendo o estudo de sinal de f':
  • Para x<0, f'>0 (função cresce).
  • Para 0, f'<0 (função decresce).
  • Para x>2, f'>0 (função cresce).
    Portanto há um máximo local em (0,f(0))=(0,2) e um mínimo local em (2,f(2))=(2,-2).

Passo 4

Para concavidade, usamos a segunda derivada:
f''(x)=6x-6
Igualando a zero vem x=1. Verificando o sinal:
  • Para x<1, f''<0 (concavidade para baixo).
  • Para x>1, f''>0 (concavidade para cima).
    Logo existe ponto de inflexão em (1,f(1))=(1,0).

Passo 5

Juntando tudo:
  • Comportamento assintótico: f(x)to-infty quando xto-infty e f(x)to+infty quando xto+infty.
  • Interceptos com o eixo x em aproximadamente (-0,732,0), (1,0) e (2,732,0); intercepto com o eixo y em (0,2).
  • Máximo local em (0,2) e mínimo local em (2,-2).
  • Ponto de inflexão em (1,0).
    Com esses dados, esboça-se um polinômio cúbico que cresce até (0,2), decresce até (2,-2) e cresce novamente, mudando de concavidade em x=1.

Resposta

O gráfico é um polinômio cúbico que:
  • cresce de -infty até o máximo local em (0,2),
  • decresce até o mínimo local em (2,-2),
  • cresce novamente para +infty,
    passa pelos interceptos com o eixo x em aproximadamente (-0,732,0), (1,0), (2,732,0), intercepta o eixo y em (0,2) e muda de concavidade em (1,0).
    Esse é o esboço do gráfico de f(x)=x^3-3x^2+2.

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