Para cada função, calcule f^prime(x) :
(l) ; f(x)=3^x+ln x+raizx+1x^2x^-2+cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma soma de uma exponencial e uma fração, usando os conteúdos de derivada de função exponencial e regra do quociente.

Passo 2

Derivando a parte exponencial: para f₁(x)=3^x, temos f₁′(x)=3^x·ln3.

Passo 3

Identificamos o quociente f₂(x)=N(x)/D(x), onde
N(x)=ln x+raizx+x^-2,
D(x)=x^-2+cos x
Calculamos N′(x) e D′(x):
N(x)=1x+12raizx-2x^-3,
D(x)=-2x^-3-sin x

Passo 4

Aplicando a regra do quociente: se f₂(x)=N/D então
f₂(x)=N(x)D(x)-N(x)D(x)[D(x)]^2

Passo 5

Substituindo N, N′, D, D′:
f₂(x)=l(1x+12raizx-2x^-3r)(x^-2+cos x)-(ln x+raizx+x^-2)(-2x^-3-sin x)(x^-2+cos x)^2

Passo 6

A derivada total é a soma das partes exponencial e do quociente.

Resposta

f(x)=3^xln3+l(tfrac1x+tfrac12raizx-2x^-3r)(x^-2+cos x)-(ln x+raizx+x^-2)(-2x^-3-sin x)(x^-2+cos x)^2

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