Nos itens abaixo, efetue o estudo completo da função dada e, a seguir, esboce seu gráfico;
f(x)=3 x^4-4 x^3-12 x^2

Passo 1

A função é f(x)=3x{4}-4x{3}-12x^{2}. Isso é um polinômio de quarto grau, então o domínio é todos os reais. Para estudá-la, vamos precisar calcular as derivadas, achar zeros, monotonia, extremos, concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Domínio e interceptos: O domínio é R. Para achar os zeros de f, fatoramos:
f(x)=3x^4-4x^3-12x^2=x^2(3x^2-4x-12)
A equação 3x^2-4x-12=0 tem raízes
x=4pmraiz16+1446=4pm4raiz106=2pm2raiz103
Logo os zeros são x=0 (multiplicidade 2), x=(2+2raiz10)/3 e x=(2-2raiz10)/3. O intercepto em y é f(0)=0. A função não é par nem ímpar pois mistura termos de grau par e ímpar.

Passo 3

Derivada primeira e pontos críticos:
Calculamos
f'(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=12x(x-2)(x+1)
Logo os pontos críticos são x=-1,;0,;2.

Passo 4

Monotonia e extremos:
Analisando o sinal de f'(x):
  • Em ( -infty,-1), f'(-2)<0 ⇒ decrescente.
  • Em (-1,0), f'(-0.5)>0 ⇒ crescente.
  • Em (0,2), f'(1)<0 ⇒ decrescente.
  • Em (2,infty), f'(3)>0 ⇒ crescente.
    Isso mostra que há mínimo local em x=-1, máximo local em x=0 e mínimo local em x=2.
    Calculando os valores:
    f(-1)=3(1)-4(-1)-12(1)=3+4-12=-5.
    f(0)=0.
    f(2)=3(16)-4(8)-12(4)=48-32-48=-32.

Passo 5

Derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão:
Calculamos
f''(x)=36x^2-24x-24=12(3x^2-2x-2)
Resolvendo 3x^2-2x-2=0 vem
x=2pmraiz4+246=2pm2raiz76=1pmraiz73
Denotando x1=(1-raiz7)/3approx-0.549 e x2=(1+raiz7)/3approx1.215, o sinal de f'' indica:
  • Para x: f''>0 ⇒ côncava para cima.
  • Entre x1 e x2: f''<0 ⇒ côncava para baixo.
  • Para x>x2: f''>0 ⇒ côncava para cima.
    São pontos de inflexão em x=x1,x2, com valores aproximados
    f(x_{1})\approx-2.68 e f(x_{2})\approx-18.38.

Passo 6

Comportamento no infinito e esboço:
Como o termo de maior grau é 3x^4 positivo, temos f(x)to+infty para xtopminfty.
Juntando tudo: zeros em 0 (duplo), (2pm2raiz10)/3, máximos e mínimos locais em (-1,-5),(0,0),(2,-32), pontos de inflexão em (x1,f(x1)),(x2,f(x2)), concavidade alternando UP–DOWN–UP e crescimento/decrescimento conforme derivada.
O gráfico passa por essas marcas, subindo para +∞ nos extremos e exibindo a ondulação típica de um quarto grau.

Passo 7

Esboço (descritivo):
Começa subido em +∞ (x→−∞), desce até o mínimo em (−1,−5), sobe até o máximo em (0,0), desce forte até o mínimo em (2,−32), e enfim retorna subindo para +∞ (x→+∞). A concavidade muda em −0.549 e 1.215.

Resposta

A função tem domínio R, zeros em x=0,;x=(2pm2raiz10)/3, mínimo local em (-1,-5), máximo local em (0,0), mínimo local em (2,-32), pontos de inflexão em (tfrac1-raiz73,,-2.68) e (tfrac1+raiz73,,-18.38), é côncava para cima em (−∞,tfrac1-raiz73)cup(tfrac1+raiz73,∞) e côncava para baixo em (tfrac1-raiz73,tfrac1+raiz73). Para xtopminfty temos f(x)to+infty. O esboço segue a ondulação típica de um polinômio de grau 4 com essas características.

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