Nos itens abaixo, efetue o estudo completo da função dada e, a seguir, esboce seu gráfico;
Passo 1
A função é f(x)=3x{4}-4x{3}-12x^{2}. Isso é um polinômio de quarto grau, então o domínio é todos os reais. Para estudá-la, vamos precisar calcular as derivadas, achar zeros, monotonia, extremos, concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
Domínio e interceptos: O domínio é
. Para achar os zeros de f, fatoramos:
A equação
Logo os zeros são
(multiplicidade 2),
e
. O intercepto em y é f(0)=0. A função não é par nem ímpar pois mistura termos de grau par e ímpar.
Passo 3
Derivada primeira e pontos críticos:
Calculamos
Calculamos
Logo os pontos críticos são
Passo 4
Monotonia e extremos:
Analisando o sinal de :
Analisando o sinal de
- Em
, ⇒ decrescente. - Em
, ⇒ crescente. - Em
, ⇒ decrescente. - Em
, ⇒ crescente.
Isso mostra que há mínimo local em, máximo local em e mínimo local em .
Calculando os valores:
f(-1)=3(1)-4(-1)-12(1)=3+4-12=-5.
f(0)=0.
f(2)=3(16)-4(8)-12(4)=48-32-48=-32.
Passo 5
Derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão:
Calculamos
Calculamos
Resolvendo
Denotando
e
, o sinal de
indica:
- Para
: ⇒ côncava para cima. - Entre
e : ⇒ côncava para baixo. - Para
: ⇒ côncava para cima.
São pontos de inflexão em, com valores aproximados
f(x_{1})\approx-2.68 e f(x_{2})\approx-18.38.
Passo 6
Comportamento no infinito e esboço:
Como o termo de maior grau é positivo, temos
para
.
Juntando tudo: zeros em 0 (duplo), , máximos e mínimos locais em
, pontos de inflexão em
, concavidade alternando UP–DOWN–UP e crescimento/decrescimento conforme derivada.
O gráfico passa por essas marcas, subindo para +∞ nos extremos e exibindo a ondulação típica de um quarto grau.
Como o termo de maior grau é
Juntando tudo: zeros em 0 (duplo),
O gráfico passa por essas marcas, subindo para +∞ nos extremos e exibindo a ondulação típica de um quarto grau.
Passo 7
Esboço (descritivo):
Começa subido em +∞ (x→−∞), desce até o mínimo em (−1,−5), sobe até o máximo em (0,0), desce forte até o mínimo em (2,−32), e enfim retorna subindo para +∞ (x→+∞). A concavidade muda em −0.549 e 1.215.
Começa subido em +∞ (x→−∞), desce até o mínimo em (−1,−5), sobe até o máximo em (0,0), desce forte até o mínimo em (2,−32), e enfim retorna subindo para +∞ (x→+∞). A concavidade muda em −0.549 e 1.215.
Resposta
A função tem domínio
, zeros em
, mínimo local em
, máximo local em
, mínimo local em
, pontos de inflexão em
e
, é côncava para cima em
e côncava para baixo em
. Para
temos
. O esboço segue a ondulação típica de um polinômio de grau 4 com essas características.