Nos itens abaixo, efetue o estudo completo da função dada e, a seguir, esboce seu gráfico;
f(x)=11+x^2

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função f(x)=11+x^2, ou seja: domínio, simetria, interceptos, limites, assíntotas, derivadas para monotonia e concavidade, extremos e, por fim, esboço do gráfico.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f. Como o denominador 1+x^2 nunca se anula para nenhum xinR, o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Verificamos a paridade de f. Note que f(-x)=11+(-x)^2=11+x^2=f(x), portanto f é função par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 4

Calculamos interceptos. Para o intercepto em y, fazemos x=0, obtendo f(0)=1, então o ponto (0,1). Não há interceptos em x pois f(x)>0 para todo x.

Passo 5

Analisamos limites em infinito para verificar assíntotas. Tem-se em bloco:
limxtopminfty f(x)=limxtopminfty11+x^2=0,
portanto existe assíntota horizontal y=0.

Passo 6

Calculamos a primeira derivada para monotonia. Em bloco:
f'(x)=l(1+x^2r)'^-1=-2x(1+x^2)^2
O sinal de f'(x) mostra que f'!>0 em x<0 e f'<0 em x>0, logo a função cresce em ( -infty,0) e decresce em (0,infty).

Passo 7

Para concavidade, calculamos a segunda derivada em bloco:
f''(x)=2(3x^2-1)(1+x^2)^3
O sinal de f''(x) indica que f''<0 se |x|<1raiz3 (concavidade para baixo) e f''>0 se |x|>1raiz3 (concavidade para cima).

Passo 8

Combinando derivadas, concluímos que há um único máximo em x=0, pois f' muda de positivo para negativo ali. O valor máximo é f(0)=1. Não há mínimos locais além dos comportamentos nos extremos onde a função tende a zero.

Passo 9

O esboço do gráfico deve mostrar uma campânula simétrica em torno de y-axis, com pico em (0,1), caindo monotonamente para zero e se aproximando de y=0 como assíntota horizontal, com mudança de concavidade em x=pm1/raiz3.

Resposta

O gráfico de f(x)=1/(1+x^2) é uma curva par, com máximo global em (0,1), decrescente para x>0 (crescente para x<0), assíntota horizontal y=0, e inflexões em x=\pm1/\sqrt3; forma uma “campânula” simétrica em torno do eixo y.

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