Nos itens abaixo, efetue o estudo completo da função dada e, a seguir, esboce seu gráfico;
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
, ou seja: domínio, simetria, interceptos, limites, assíntotas, derivadas para monotonia e concavidade, extremos e, por fim, esboço do gráfico.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio de
. Como o denominador
nunca se anula para nenhum
, o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Passo 3
Verificamos a paridade de
. Note que
, portanto
é função par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 4
Calculamos interceptos. Para o intercepto em
, fazemos
, obtendo
, então o ponto
. Não há interceptos em
pois
para todo
.
Passo 5
Analisamos limites em infinito para verificar assíntotas. Tem-se em bloco:
portanto existe assíntota horizontal
.
Passo 6
Calculamos a primeira derivada para monotonia. Em bloco:
O sinal de
mostra que
em
e
em
, logo a função cresce em
e decresce em
.
Passo 7
Para concavidade, calculamos a segunda derivada em bloco:
O sinal de
indica que
se
(concavidade para baixo) e
se
(concavidade para cima).
Passo 8
Combinando derivadas, concluímos que há um único máximo em
, pois
muda de positivo para negativo ali. O valor máximo é
. Não há mínimos locais além dos comportamentos nos extremos onde a função tende a zero.
Passo 9
O esboço do gráfico deve mostrar uma campânula simétrica em torno de
-axis, com pico em
, caindo monotonamente para zero e se aproximando de
como assíntota horizontal, com mudança de concavidade em
.
Resposta
O gráfico de
é uma curva par, com máximo global em (0,1), decrescente para x>0 (crescente para x<0), assíntota horizontal y=0, e inflexões em x=\pm1/\sqrt3; forma uma “campânula” simétrica em torno do eixo y.