Nos itens abaixo, efetue o estudo completo da função dada e, a seguir, esboce seu gráfico;
f(x)=5 x^2 / 3-x^5 / 3

Passo 1

A questão é um estudo completo da função f(x)=5 x{2/3}−x{5/3}. O conteúdo é análise de funções usando domínio, derivadas, monotonicidade, concavidade, limites e esboço de gráfico. Vamos precisar de conhecimentos de derivação de potências fracionárias, teste de sinais e limites.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio e a continuidade: como x^{1/3} é definido para todo x∈ℝ, também x^{2/3} e x^{5/3} existem em ℝ. Logo o domínio é ℝ e a função é contínua em todo ℝ.
Agora calculamos a derivada f’(x) usando a regra da potência:
f'(x)=5cdot23x^2/3-1-53x^5/3-1=103x^-1/3-53x^2/3

Passo 3

Fatorando x^{-1/3} em evidência temos
f'(x)=53x^-1/3(2-x)

Passo 4

Os pontos críticos são onde f’(x)=0 (numerador=0 ⇒ x=2) ou f’ indefinida (x=0).
Para estudar monotonicidade, analisamos o sinal de f’(x):
• Em x<0: x^{-1/3}<0 e (2−x)>0 ⇒ f’<0 (decrescente).
• Em 0<x<2: x^{-1/3}>0 e (2−x)>0 ⇒ f’>0 (crescente).
• Em x>2: x^{-1/3}>0 e (2−x)<0 ⇒ f’<0 (decrescente).
Logo há mínimo local em x=0 (de decresc. para cresc.) e máximo local em x=2 (de cresc. para decresc.).

Passo 5

Calculamos f em 0 e 2: f(0)=0; f(2)=5·2{2/3}−2{5/3}=3·2^{2/3}.

Passo 6

Agora a segunda derivada para concavidade: derivando f’(x) obtemos
f''(x)=-109x^-4/3-109x^-1/3=-109x^-4/3(1+x)

Passo 7

f’’ muda de sinal quando 1+x=0 ⇒ x=−1 (e está indefinida em x=0).
Teste de concavidade:
• Para x<−1: x^{-4/3}>0 e (1+x)<0 ⇒ f’’>0 (concavo para cima).
• Para −1<x<0: (1+x)>0 ⇒ f’’<0 (concavo para baixo).
• Para x>0: (1+x)>0 e fator negativo ⇒ f’’<0 (concavo para baixo).
Conclusão: há ponto de inflexão em x=−1, f(−1)=5·(−1){2/3}−(−1){5/3}=6.

Passo 8

Interceptos e limites:
• f(x)=0 ⇒ x^{2/3}(5−x)=0 ⇒ x=0 ou x=5.
• Limite em +∞: f(x)≈−x^{5/3}→−∞.
• Limite em −∞: x^{2/3}>0 e −x{5/3}=+|x|{5/3} domina ⇒ f→+∞.
Não há assíntotas lineares.

Passo 9

Com todos esses dados podemos esboçar o gráfico: cresce de +∞ em x→−∞, sofre inflexão em (−1,6), decai até (0,0) mínimo cuspidal, sobe até máximo em (2,3·2^{2/3}), depois decai cruzando (5,0) e tende a −∞.

Resposta

O gráfico de f(x)=5 x{2/3}−x{5/3} possui:
• Domínio: ℝ;
• Extremos: mínimo em (0,0), máximo em l(2,3,2^2/3r);
• Inflexão em (-1,6);
• Raízes em x=0 e x=5;
• Comportamento: f→+∞ quando x→−∞ e f→−∞ quando x→+∞.
Esboço qualitativo: ramo crescentede +∞ em x→−∞ com concavidade para cima até o ponto de inflexão (−1,6), depois decresce até o mínimo cusp em (0,0), sobe até o pico em (2,3·2^{2/3}), e em seguida decresce passando por (5,0) tendendo a −∞.

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