Nos itens abaixo, efetue o estudo completo da função dada e, a seguir, esboce seu gráfico;
Passo 1
A questão é um estudo completo da função f(x)=5 x{2/3}−x{5/3}. O conteúdo é análise de funções usando domínio, derivadas, monotonicidade, concavidade, limites e esboço de gráfico. Vamos precisar de conhecimentos de derivação de potências fracionárias, teste de sinais e limites.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio e a continuidade: como x^{1/3} é definido para todo x∈ℝ, também x^{2/3} e x^{5/3} existem em ℝ. Logo o domínio é ℝ e a função é contínua em todo ℝ.
Agora calculamos a derivada f’(x) usando a regra da potência:
Agora calculamos a derivada f’(x) usando a regra da potência:
Passo 3
Fatorando x^{-1/3} em evidência temos
Passo 4
Os pontos críticos são onde f’(x)=0 (numerador=0 ⇒ x=2) ou f’ indefinida (x=0).
Para estudar monotonicidade, analisamos o sinal de f’(x):
• Em x<0: x^{-1/3}<0 e (2−x)>0 ⇒ f’<0 (decrescente).
• Em 0<x<2: x^{-1/3}>0 e (2−x)>0 ⇒ f’>0 (crescente).
• Em x>2: x^{-1/3}>0 e (2−x)<0 ⇒ f’<0 (decrescente).
Logo há mínimo local em x=0 (de decresc. para cresc.) e máximo local em x=2 (de cresc. para decresc.).
Para estudar monotonicidade, analisamos o sinal de f’(x):
• Em x<0: x^{-1/3}<0 e (2−x)>0 ⇒ f’<0 (decrescente).
• Em 0<x<2: x^{-1/3}>0 e (2−x)>0 ⇒ f’>0 (crescente).
• Em x>2: x^{-1/3}>0 e (2−x)<0 ⇒ f’<0 (decrescente).
Logo há mínimo local em x=0 (de decresc. para cresc.) e máximo local em x=2 (de cresc. para decresc.).
Passo 5
Calculamos f em 0 e 2: f(0)=0; f(2)=5·2{2/3}−2{5/3}=3·2^{2/3}.
Passo 6
Agora a segunda derivada para concavidade: derivando f’(x) obtemos
Passo 7
f’’ muda de sinal quando 1+x=0 ⇒ x=−1 (e está indefinida em x=0).
Teste de concavidade:
• Para x<−1: x^{-4/3}>0 e (1+x)<0 ⇒ f’’>0 (concavo para cima).
• Para −1<x<0: (1+x)>0 ⇒ f’’<0 (concavo para baixo).
• Para x>0: (1+x)>0 e fator negativo ⇒ f’’<0 (concavo para baixo).
Conclusão: há ponto de inflexão em x=−1, f(−1)=5·(−1){2/3}−(−1){5/3}=6.
Teste de concavidade:
• Para x<−1: x^{-4/3}>0 e (1+x)<0 ⇒ f’’>0 (concavo para cima).
• Para −1<x<0: (1+x)>0 ⇒ f’’<0 (concavo para baixo).
• Para x>0: (1+x)>0 e fator negativo ⇒ f’’<0 (concavo para baixo).
Conclusão: há ponto de inflexão em x=−1, f(−1)=5·(−1){2/3}−(−1){5/3}=6.
Passo 8
Interceptos e limites:
• f(x)=0 ⇒ x^{2/3}(5−x)=0 ⇒ x=0 ou x=5.
• Limite em +∞: f(x)≈−x^{5/3}→−∞.
• Limite em −∞: x^{2/3}>0 e −x{5/3}=+|x|{5/3} domina ⇒ f→+∞.
Não há assíntotas lineares.
• f(x)=0 ⇒ x^{2/3}(5−x)=0 ⇒ x=0 ou x=5.
• Limite em +∞: f(x)≈−x^{5/3}→−∞.
• Limite em −∞: x^{2/3}>0 e −x{5/3}=+|x|{5/3} domina ⇒ f→+∞.
Não há assíntotas lineares.
Passo 9
Com todos esses dados podemos esboçar o gráfico: cresce de +∞ em x→−∞, sofre inflexão em (−1,6), decai até (0,0) mínimo cuspidal, sobe até máximo em (2,3·2^{2/3}), depois decai cruzando (5,0) e tende a −∞.
Resposta
O gráfico de f(x)=5 x{2/3}−x{5/3} possui:
• Domínio: ℝ;
• Extremos: mínimo em (0,0), máximo em ;
• Inflexão em ;
• Raízes em x=0 e x=5;
• Comportamento: f→+∞ quando x→−∞ e f→−∞ quando x→+∞.
• Domínio: ℝ;
• Extremos: mínimo em (0,0), máximo em
• Inflexão em
• Raízes em x=0 e x=5;
• Comportamento: f→+∞ quando x→−∞ e f→−∞ quando x→+∞.
Esboço qualitativo: ramo crescentede +∞ em x→−∞ com concavidade para cima até o ponto de inflexão (−1,6), depois decresce até o mínimo cusp em (0,0), sobe até o pico em (2,3·2^{2/3}), e em seguida decresce passando por (5,0) tendendo a −∞.