Série Alternada: Determine se a seguinte série é convergente ou divergente. Caso seja convergente, indique se a convergência é absoluta ou condicional:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido. A questão nos apresenta uma série alternada:
O objetivo é determinar se essa série é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos dizer se a convergência é absoluta ou condicional. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela onde os termos mudam de sinal, como é o caso do nosso exemplo, onde temos que alterna entre positivo e negativo conforme aumenta.
Passo 3
Para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que a série:
converge se duas condições forem satisfeitas:
Os termos são positivos.
Os termos diminuem de forma monótona para zero, ou seja, para todo e .
Passo 4
Aplicando o teste na nossa série, temos .
Positividade: é sempre positivo para .
Decrescimento para zero: À medida que aumenta, diminui e tende a 0.
Como ambas as condições são satisfeitas, pelo Teste da Série Alternada, a nossa série converge.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso, examinamos a série dos valores absolutos:
Essa é a famosa Série Harmônica, que sabemos que diverge. Como a série dos valores absolutos diverge, a convergência da nossa série original não é absoluta, ou seja, é condicional.
Resposta
A série é convergente por convergência condicional.