Série Alternada: Determine se a seguinte série é convergente ou divergente. Caso seja convergente, indique se a convergência é absoluta ou condicional:
sumn=1^infty (-1)^nn

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido. A questão nos apresenta uma série alternada:
sumn=1^infty (-1)^nn
O objetivo é determinar se essa série é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos dizer se a convergência é absoluta ou condicional. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela onde os termos mudam de sinal, como é o caso do nosso exemplo, onde temos que alterna entre positivo e negativo conforme aumenta.

Passo 3

Para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que a série:
sumn=1^infty (-1)^n bn
converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são positivos.
  2. Os termos diminuem de forma monótona para zero, ou seja, para todo e .

Passo 4

Aplicando o teste na nossa série, temos .
  1. Positividade: é sempre positivo para .
  2. Decrescimento para zero: À medida que aumenta, diminui e tende a 0.
Como ambas as condições são satisfeitas, pelo Teste da Série Alternada, a nossa série converge.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso, examinamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^nn | = sumn=1^infty 1n
Essa é a famosa Série Harmônica, que sabemos que diverge. Como a série dos valores absolutos diverge, a convergência da nossa série original não é absoluta, ou seja, é condicional.

Resposta

A série é convergente por convergência condicional.

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