Nos itens abaixo, efetue o estudo completo da função dada e, a seguir, esboce seu gráfico;
f(x)=1x^2-5 x+6

Passo 1

A função é f(x)= 1x^2-5x+6. Vamos fazer um estudo completo: domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade, concavidade e pontos críticos para finalmente esboçar o gráfico. Vamos precisar de derivadas de primeira e segunda ordem e de análise de sinal.

Passo 2

Domínio: o denominador x^2-5x+6=0 quando x=2 ou x=3. Então não podemos ter essas raízes. Domínio: (-∞,2) ∪ (2,3) ∪ (3,+∞).

Passo 3

Interceptos: não há intercepto em x porque 1≠0. Intercepto em y: f(0)=1/(0^2-0+6)=1/6.

Passo 4

Assíntotas verticais: x=2 e x=3. Assíntota horizontal: como x→±∞, x^2 domina, logo f(x)→0. Então y=0 é assíntota horizontal.

Passo 5

Comportamento junto às verticais: analisar o sinal de (x-2)(x-3):
  • Para x<2: (x-2)<0 e (x-3)<0 ⇒ denominador>0 ⇒ f>0.
  • Em x→2⁻: f→+∞. Em x→2⁺: denominador<0 ⇒ f→-∞.
  • Para 2<x<3: denominador<0 ⇒ f<0. Em x→3⁻: f→-∞. Em x→3⁺: f→+∞.
  • Para x>3: denominador>0 ⇒ f>0.

Passo 6

Derivada primeira: f’(x)= -2x-5(x^2-5x+6)^2. Zera se 2x-5=0 ⇒ x=5/2. Estudo de sinais (denominador sempre >0 salvo nas exclusões):
  • Em cada intervalo do domínio, o sinal de f’ é o oposto de 2x-5.
  • Para x<5/2 ⇒ 2x-5<0 ⇒ f’>0 (função crescente).
  • Para x>5/2 ⇒ 2x-5>0 ⇒ f’<0 (função decrescente).
    Logo, único ponto crítico em x=2,5 (está em (2,3)).

Passo 7

Valor em x=5/2: f(5/2)=1/((25/4)-(25/2)+6)=1/(-1/4)=-4. É um máximo local (passa de crescente a decrescente).

Passo 8

Derivada segunda: f’’(x)= 6x^2-30x+38(x^2-5x+6)^3. O numerador é sempre positivo (Δ<0 e coeficiente principal>0), então o sinal de f’’ segue o sinal de (x2-5x+6)3, isto é:
  • Se x∈(-∞,2)∪(3,+∞), denominador>0 ⇒ f’’>0 ⇒ concavidade para cima.
  • Se x∈(2,3), denominador<0 ⇒ f’’<0 ⇒ concavidade para baixo.

Passo 9

Resumo do esboço:
• Dois ramos em y>0 para x<2 e x>3, aproximando-se de y=0 para |x| grandes e de +∞ nas verticais.
• Um ramo em y<0 para 2<x<3, com assíntotas verticais em x=2,3 e máximo local em (2,5;−4).
• Concavidade alternada: côncavo para cima em x<2 e x>3; côncavo para baixo em 2<x<3.

Resposta

O gráfico é formado por três ramos de hipérbole: dois positivos em (-∞,2) e (3,+∞) que vão de y=0 até +∞ nas assíntotas x=2 e x=3, e um ramo negativo em (2,3) com máximo local em (2,5,−4), concavidade para baixo nesse intervalo e para cima fora dele.

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