Nos itens abaixo, encontre equações para: (1) o plano tangente e (2) a reta normal no
na superfície determinada.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma superfície definida pela equação
e um ponto específico
. O objetivo é encontrar duas coisas: (1) o plano tangente à superfície nesse ponto e (2) a reta normal à superfície nesse mesmo ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o cálculo de derivadas parciais e o conceito de gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Podemos considerar a função
. Assim, a superfície é o conjunto de pontos que satisfazem
.
Passo 3
Para achar o plano tangente, precisamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto
. Esse vetor normal é dado pelo gradiente da função
avaliado em
. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Então, o vetor gradiente no ponto
é
.
Passo 6
Com o vetor normal
, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto
. A reta normal passa pelo ponto
e tem direção do vetor normal
. A equação paramétrica da reta é dada por:
Onde
são as componentes do vetor normal e
é o parâmetro.
Substituindo os valores:
Resposta
-
Equação do plano tangente:
-
Equação paramétrica da reta normal: