Nos itens abaixo, encontre equações para: (1) o plano tangente e (2) a reta normal no P0 na superfície determinada.
cos pi x+x^2 y+z^2=7, P0(0,1,2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma superfície definida pela equação cos pi x + x^2 y + z^2 = 7 e um ponto específico P0(0,1,2). O objetivo é encontrar duas coisas: (1) o plano tangente à superfície nesse ponto e (2) a reta normal à superfície nesse mesmo ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o cálculo de derivadas parciais e o conceito de gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Podemos considerar a função F(x, y, z) = cos pi x + x^2 y + z^2 - 7. Assim, a superfície é o conjunto de pontos que satisfazem F(x, y, z) = 0.

Passo 3

Para achar o plano tangente, precisamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto P0. Esse vetor normal é dado pelo gradiente da função F avaliado em P0. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de F em relação a x, y e z.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de F:
partial Fpartial x = -pi sin pi x + 2x y
partial Fpartial y = x^2
partial Fpartial z = 2z

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto P0(0,1,2):
partial Fpartial x(0,1,2) = -pi sin(0) + 2 cdot 0 cdot 1 = 0
partial Fpartial y(0,1,2) = 0^2 = 0
partial Fpartial z(0,1,2) = 2 cdot 2 = 4
Então, o vetor gradiente no ponto P0 é nabla F(P0) = (0, 0, 4).

Passo 6

Com o vetor normal nabla F(P0) = (0, 0, 4), podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente é:
partial Fpartial x(x0)(x - x0) + partial Fpartial y(y0)(y - y0) + partial Fpartial z(z0)(z - z0) = 0
Substituindo os valores:
0 (x - 0) + 0 (y - 1) + 4 (z - 2) = 0
Simplificando:
4(z - 2) = 0 Rightarrow z = 2

Passo 7

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto P0. A reta normal passa pelo ponto P0 e tem direção do vetor normal nabla F(P0). A equação paramétrica da reta é dada por:
x = x0 + a t
y = y0 + b t
z = z0 + c t
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e t é o parâmetro.
Substituindo os valores:
x = 0 + 0 cdot t = 0
y = 1 + 0 cdot t = 1
z = 2 + 4 t

Resposta

  1. Equação do plano tangente: z = 2
  2. Equação paramétrica da reta normal:
x = 0 y = 1 z = 2 + 4t

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