Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty (-1)^n-1n 5^n x^n

Passo 1

Temos a série de potências sumn=1^infty (-1)^n-1n,5^n,x^n. O conteúdo aqui é convergência de séries de potências. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão para obter o raio de convergência R e depois testar os pontos x=R e x=-R para definir o intervalo.

Passo 2

Aplicando o Teste da Razão, consideramos os coeficientes an=(-1)^n-1n5^n. Calculamos
L=limntoinfty|an+1,x^n+1an,x^n| =limntoinfty1(n+1)5^n+1,|x|^n+11n5^n,|x|^n =limntoinftynn+1cdot|x|5 =|x|5
A série converge se L<1, ou seja |x|<5. Logo o raio de convergência é R=5.

Passo 3

Agora testamos os extremos: para x=5, a série vira
sumn=1^infty(-1)^n-1n5^n,5^n =sumn=1^infty(-1)^n-1n,
o que é a série harmônica alternada. Pelo Teste da Série Alternada (os termos decrescem em módulo e tendem a zero), ela converge.

Passo 4

Para x=-5, a série vira
sumn=1^infty(-1)^n-1n5^n(-5)^n =sumn=1^infty(-1)^n-1(-1)^nn =sumn=1^infty-1n =-sumn=1^infty1n,
que é (menos) a série harmônica e, portanto, diverge. Assim, o extremo x=-5 não entra no intervalo.

Passo 5

Concluímos que o intervalo de convergência é
.

Resposta

Raio de convergência: R=5. Intervalo de convergência: (-5,5].

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