Nos itens abaixo, encontre os extremos relativos de f no intervalo dado, classificando-os. A seguir, diga, justificando, se tais extremos são também absolutos no referido intervalo.
f(x)=x^4+4 x^3,(-infty,+infty)

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos relativos de f no intervalo (-∞,+∞) e classificar esses pontos; depois verificar se esses extremos são também absolutos.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddxl(x^4+4x^3r)=4x^3+12x^2=4x^2(x+3)
Os pontos críticos vêm de f’(x)=0, ou seja x^2=0 ⇒ x=0 e x+3=0 ⇒ x=−3.

Passo 3

Agora usamos a segunda derivada para classificar:
f''(x)=ddx(4x^3+12x^2)=12x^2+24x=12x(x+2)
Em x=−3 temos f’’(−3)=12·(−3)·(−1)=36>0, logo é mínimo local. Em x=0 temos f’’(0)=0, inconclusivo; então fazemos o teste de sinal de f’: f’(x)<0 para x<−3 e f’(x)>0 para x>−3, confirmando mínimo em x=−3. Para x=0 não há mudança de sinal (f’(x)>0 antes e depois), logo 0 é um ponto de inflexão e não extremo.

Passo 4

Para saber se o mínimo em x=−3 é também absoluto, observamos o comportamento de f em ±∞: como o termo dominante é x^4>0, f(x)→+∞ quando x→±∞. Assim, o valor f(−3)=−27 é o menor valor que f assume em todo o domínio, isto é, é mínimo absoluto. Não há máximo, pois f cresce sem limite nas duas pontas.

Resposta

Há um único extremo relativo: mínimo em x=−3 com f(−3)=−27, que é também mínimo absoluto. Não há máximo relativo (nem máximo absoluto).

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