Nos itens abaixo, encontre os extremos relativos de
no intervalo dado, classificando-os. A seguir, diga, justificando, se tais extremos são também absolutos no referido intervalo.
Passo 1
O enunciado pede para achar os extremos relativos de f no intervalo (-∞,+∞) e classificar esses pontos; depois verificar se esses extremos são também absolutos.
Passo 2
Calculamos a derivada de f:
Os pontos críticos vêm de f’(x)=0, ou seja x^2=0 ⇒ x=0 e x+3=0 ⇒ x=−3.
Passo 3
Agora usamos a segunda derivada para classificar:
Em x=−3 temos f’’(−3)=12·(−3)·(−1)=36>0, logo é mínimo local. Em x=0 temos f’’(0)=0, inconclusivo; então fazemos o teste de sinal de f’: f’(x)<0 para x<−3 e f’(x)>0 para x>−3, confirmando mínimo em x=−3. Para x=0 não há mudança de sinal (f’(x)>0 antes e depois), logo 0 é um ponto de inflexão e não extremo.
Passo 4
Para saber se o mínimo em x=−3 é também absoluto, observamos o comportamento de f em ±∞: como o termo dominante é x^4>0, f(x)→+∞ quando x→±∞. Assim, o valor f(−3)=−27 é o menor valor que f assume em todo o domínio, isto é, é mínimo absoluto. Não há máximo, pois f cresce sem limite nas duas pontas.
Resposta
Há um único extremo relativo: mínimo em x=−3 com f(−3)=−27, que é também mínimo absoluto. Não há máximo relativo (nem máximo absoluto).