Encontre a área limitada pelas curvas y=sin (x) e y=cos (x), pi4 <= x <= 9 pi4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a área limitada pelas curvas $ y = \sin(x) $ e $ y = \cos(x) $ no intervalo de $ \frac{\pi}{4} $ até $ \frac{9\pi}{4} $. Para isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente a técnica de calcular a área entre duas curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quais são as curvas envolvidas:
  • $ y = \sin(x) $: A função seno oscila entre -1 e 1, com período $ 2\pi $.
  • $ y = \cos(x) $: A função cosseno também oscila entre -1 e 1, com o mesmo período $ 2\pi $.
Nosso objetivo é encontrar a área onde essas duas curvas se cruzam no intervalo dado.

Passo 3

Para calcular a área entre duas curvas, usamos a seguinte fórmula:
Área = integrala^b |f(x) - g(x)| , dx Á
Onde $ f(x) $ e $ g(x) $ são as duas funções que definem as curvas, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração.

Passo 4

Antes de integrar, precisamos saber qual das funções está por cima da outra no intervalo dado. Vamos achar os pontos onde $ \sin(x) = \cos(x) $:
sin(x) = cos(x)
No intervalo de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{9\pi}{4} $, os pontos de interseção são:
sin(x) = cos(x) Rightarrow tan(x) = 1 Rightarrow x = pi4 + npi, n in Z

Passo 5

Vamos dividir o intervalo em partes onde uma função está acima da outra:
  1. De $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{5\pi}{4} $: $ \cos(x) $ está acima de $ \sin(x) $.
  2. De $ \frac{5\pi}{4} $ a $ \frac{9\pi}{4} $: $ \sin(x) $ está acima de $ \cos(x) $.

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da área para cada intervalo:
Área = integralpi4^5pi4 (cos(x) - sin(x)) , dx + integral5pi4^9pi4 (sin(x) - cos(x)) , dx Á

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Primeira integral:
integral (cos(x) - sin(x)) , dx = sin(x) + cos(x) + C
Avaliada de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{5\pi}{4} $:
pi4
Sabendo que:
5pi4
Então:
[ sin(5pi4) + cos(5pi4) ] - [ sin(pi4) + cos(pi4) ]
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto: $ 2\sqrt{2} $.
  1. Segunda integral:
sin(pi4) = cos(pi4) = raiz22 sin(5pi4) = cos(5pi4) = -raiz22
Avaliada de $ \frac{5\pi}{4} $ a $ \frac{9\pi}{4} $:
( -raiz22 - raiz22 ) - ( raiz22 + raiz22 ) = -raiz2 - raiz2 = -2raiz2
Sabendo que:
2raiz2
Então:
integral (sin(x) - cos(x)) , dx = -cos(x) - sin(x) + C
Novamente, consideramos o valor absoluto: $ 2\sqrt{2} $.

Resposta

A área limitada pelas curvas $ y = \sin(x) $ e $ y = \cos(x) $ no intervalo de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{9\pi}{4} $ é $ 4\sqrt{2} $ unidades quadradas.

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