Encontre a área limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a área limitada pelas curvas $ y = \sin(x) $ e $ y = \cos(x) $ no intervalo de $ \frac{\pi}{4} $ até $ \frac{9\pi}{4} $. Para isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente a técnica de calcular a área entre duas curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quais são as curvas envolvidas:
- $ y = \sin(x) $: A função seno oscila entre -1 e 1, com período $ 2\pi $.
- $ y = \cos(x) $: A função cosseno também oscila entre -1 e 1, com o mesmo período $ 2\pi $.
Nosso objetivo é encontrar a área onde essas duas curvas se cruzam no intervalo dado.
Passo 3
Para calcular a área entre duas curvas, usamos a seguinte fórmula:
Onde $ f(x) $ e $ g(x) $ são as duas funções que definem as curvas, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração.
Passo 4
Antes de integrar, precisamos saber qual das funções está por cima da outra no intervalo dado. Vamos achar os pontos onde $ \sin(x) = \cos(x) $:
No intervalo de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{9\pi}{4} $, os pontos de interseção são:
Passo 5
Vamos dividir o intervalo em partes onde uma função está acima da outra:
- De $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{5\pi}{4} $: $ \cos(x) $ está acima de $ \sin(x) $.
- De $ \frac{5\pi}{4} $ a $ \frac{9\pi}{4} $: $ \sin(x) $ está acima de $ \cos(x) $.
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da área para cada intervalo:
Passo 7
Vamos calcular cada integral separadamente:
- Primeira integral:
Avaliada de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{5\pi}{4} $:
Sabendo que:
Então:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto: $ 2\sqrt{2} $.
- Segunda integral:
Avaliada de $ \frac{5\pi}{4} $ a $ \frac{9\pi}{4} $:
Sabendo que:
Então:
Novamente, consideramos o valor absoluto: $ 2\sqrt{2} $.
Resposta
A área limitada pelas curvas $ y = \sin(x) $ e $ y = \cos(x) $ no intervalo de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{9\pi}{4} $ é $ 4\sqrt{2} $ unidades quadradas.