Nos itens abaixo, encontre a solução geral da EDO.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada por $ x y’ = y^3 + y $. Aqui, estamos lidando com EDOs de primeira ordem que são não lineares por causa do termo $ y^3 $. Para resolver, vamos precisar usar métodos de substituição que simplifiquem a equação e tornem possível encontrar uma solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar $ y’ $. Dividindo ambos os lados por $ x $, temos:
Isso nos dá uma forma mais clara da derivada de $ y $ em relação a $ x $.
Passo 3
Observamos que a equação pode ser manipulada para facilitar a resolução. Podemos fatorar o lado direito:
Isso sugere que uma substituição pode simplificar a equação. Vamos usar a substituição $ v = \frac{1}{y} $. Assim, $ v = y^{-1} $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a expressão para $ v’ $ em termos de $ y’ $. Derivando $ v $ em relação a $ x $:
Usando a expressão que encontramos para $ y’ $:
Como $ v = \frac{1}{y} $, podemos substituir $ y $ por $ \frac{1}{v} $:
Então, a equação para $ v $ fica:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial para $ v $ que é linear. Vamos rearranjá-la para a forma padrão de uma equação linear:
No entanto, essa forma ainda não é linear devido ao termo $ v^2 $. Vamos tentar separar as variáveis.
Passo 6
Vamos rearranjar a equação para separar $ v $ e $ x $:
Podemos escrever $ v’ $ como $ \frac{dv}{dx} $, então:
Agora, se reorganizarmos para separar:
Passo 7
Agora, ambas as variáveis estão separadas e podemos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é uma forma padrão que resulta em $ \tan^{-1}(v) $, e a do lado direito é $ -\ln|x| $.
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Agora, substituímos $ v $ de volta em termos de $ y $. Lembrando que $ v = \frac{1}{y} $:
Podemos reescrever isso para isolar $ y $, se necessário, mas a forma acima já representa a solução geral da EDO.
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ x y’ = y^3 + y $ é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.