Responda corretamente os itens a seguir.
Mostre que 117 <= integral1^2 11+x^4 d x <= 724

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o valor da integral integral1^211+x^4,dx fica entre tfrac117 e tfrac724. Vamos usar comparação de integrais e monotonicidade para obter esses limites.

Passo 2

Observamos que a função f(x)=tfrac11+x^4 é positiva e estritamente decrescente em [1,2]. Em particular, para todo xin[1,2] vale
11+x^4;>=;11+2^4;=;117
Integrando essa desigualdade temos
integral1^211+x^4,dx;>=;integral1^2117,dx;=;117(2-1);=;117

Passo 3

Para o limite superior, note que para x>=1 se tem 1+x^4>= x^4, então
0;<=;11+x^4;<=;1x^4
Logo,
integral1^211+x^4,dx;<=;integral1^21x^4,dx =[-13x^3]1^2 = -13cdot2^3+13cdot1^3 = -124+13 =724

Resposta

117<=integral1^211+x^4,dx<=724

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