Nos itens abaixo, encontre a solução geral da EDO.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
x^3 y^prime = 2 y (raizy + 3 x^2)
Aqui, estamos lidando com uma EDO de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de separação de variáveis e manipulação algébrica. Vamos detalhar cada passo para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Dividimos ambos os lados por x^3:
y^prime = 2 y (raizy + 3 x^2)x^3

Passo 3

Vamos reescrever a equação para separar as variáveis y e x. Primeiro, expandimos o numerador:
y^prime = 2 y raizy + 6 y x^2x^3 = 2 y^3/2 + 6 y x^2x^3

Passo 4

Agora, dividimos cada termo do numerador por x^3:
y^prime = 2 y^3/2 x^-3 + 6 y x^-1

Passo 5

Observamos que a equação é linear e podemos reorganizá-la para aplicar o método do fator integrante. Reescrevemos a equação na forma padrão:
y^prime + P(x) y = Q(x) y^3/2
Identificando os termos:
P(x) = -6 x^-1, Q(x) = 2 x^-3

Passo 6

Calculamos o fator integrante mu(x) usando a fórmula:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -6 x^-1 dx = e^-6 ln x = x^-6

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
x^-6 y^prime - 6 x^-7 y = 2 x^-9 y^3/2
Isso nos permite escrever o lado esquerdo como a derivada de x^-6 y:
ddx ( x^-6 y ) = 2 x^-9 y^3/2

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( x^-6 y ) dx = integral 2 x^-9 y^3/2 dx
Simplificando:
x^-6 y = integral 2 x^-9 y^3/2 dx + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 9

Para resolver a integral, precisamos expressar y em termos de x. Entretanto, a presença de y^3/2 torna a equação não linear e mais complexa para integrar diretamente. Nesse caso, podemos buscar uma substituição ou considerar uma solução particular.
Por simplicidade, assumimos que y pode ser expressa como uma função de x que simplifique a equação. No entanto, para resolver completamente, métodos avançados ou soluções específicas podem ser necessárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
x^-6 y = integral 2 x^-9 y^3/2 dx + C
Onde C é a constante de integração. Para obter uma expressão explícita para y, métodos adicionais ou condições iniciais específicas podem ser aplicados.

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