Nos itens abaixo, encontre a solução geral das EDO’s usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O segundo membro (forçamento) é a soma de três termos:
, (polinômio de grau 1) e . - O objetivo é encontrar a solução geral
, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Para resolver isso usamos a equação característica. Seja
a raiz característica; substituindo
obtemos
Essa é uma equação quadrática fácil de fatorar:
Portanto há raiz real dupla
Quando a raiz
tem multiplicidade 2, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Explicando: para raiz simples usamos
; para raiz dupla usamos
e
.)
Passo 3
Escolher um ansatz (palpite) para a solução particular
pelo Método dos Coeficientes a Determinar: como o forçamento é soma de termos, podemos procurar
como soma de soluções particulares para cada termo:
onde cada
corresponde a um termo do segundo membro.
Regra prática (resumida e intuitiva):
- Para termo
tenta-se , a menos que sejam raízes da característica (ressonância). - Para polinômio de grau
tenta-se polinômio de grau desconhecido. - Para
tenta-se , a menos que seja raiz da característica; se for raiz de multiplicidade multiplica-se por .
Aqui a raiz da característica é
. Os expoentes associados aos termos são:
- para
as raízes complexas seriam — não coincidem com ; - para o polinômio corresponde a
— não coincide com ; - para
corresponde a — não coincide com .
Logo NÃO há ressonância com a solução homogênea e podemos usar os ansatz padrões.
Escolhemos então:
Passo 4
Determinar
Agora formamos
aplicado a
:
Somando os termos (colocando os coeficientes de
e
):
- coeficiente de
: (de ) (de ) (de ) . - coeficiente de
: (de ) (de ) (de ) .
Portanto
Esse resultado deve ser igual ao termo de forçamento correspondente, que é
. Assim obtemos o sistema
Resolvendo: da segunda equação
:
Então
Logo
Passo 5
Determinar
Derivadas:
Aplicando o operador linear:
Devemos ter
. Igualando coeficientes de
e constantes:
Da primeira
.
Logo
Passo 6
Determinar
para o termo exponencial
. Tome
Derivadas:
Aplicando o operador:
Queremos
, então
Portanto
Passo 7
Somando as partes particulares obtidas:
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: