Nos itens abaixo, encontre a solução geral das EDO’s usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=2 \cos (2 x)+3 x+2+3 e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária
y''+2y'+y=2\cos(2x)+3x+2+3e^{x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O segundo membro (forçamento) é a soma de três termos: 2\cos(2x), 3x+2 (polinômio de grau 1) e 3e^{x}.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y''+2y'+y=0.
Para resolver isso usamos a equação característica. Seja r a raiz característica; substituindo y=e^{rx} obtemos
r^{2}+2r+1=0.
Essa é uma equação quadrática fácil de fatorar:
r^{2}+2r+1=(r+1)^{2}=0.
Portanto há raiz real dupla
r=-1 \quad (\text{multiplicidade }2).
Quando a raiz r=-1 tem multiplicidade 2, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}x e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Explicando: para raiz simples usamos e^{rx}; para raiz dupla usamos e^{rx} e x e^{rx}.)

Passo 3

Escolher um ansatz (palpite) para a solução particular y_{p} pelo Método dos Coeficientes a Determinar: como o forçamento é soma de termos, podemos procurar y_{p} como soma de soluções particulares para cada termo:
y_{p}=y_{p}^{(1)}+y_{p}^{(2)}+y_{p}^{(3)},
onde cada y_{p}^{(i)} corresponde a um termo do segundo membro.
Regra prática (resumida e intuitiva):
  • Para termo A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x) tenta-se a\cos(\omega x)+b\sin(\omega x), a menos que \pm i\omega sejam raízes da característica (ressonância).
  • Para polinômio de grau n tenta-se polinômio de grau n desconhecido.
  • Para ke^{\alpha x} tenta-se m e^{\alpha x}, a menos que \alpha seja raiz da característica; se for raiz de multiplicidade s multiplica-se por x^{s}.
Aqui a raiz da característica é r=-1. Os expoentes associados aos termos são:
  • para \cos(2x) as raízes complexas seriam r=\pm 2i — não coincidem com -1;
  • para o polinômio corresponde a r=0 — não coincide com -1;
  • para e^{x} corresponde a r=1 — não coincide com -1.
Logo NÃO há ressonância com a solução homogênea e podemos usar os ansatz padrões.
Escolhemos então:
y_{p}^{(1)}(x)=a\cos(2x)+b\sin(2x)\quad\text{(para }2\cos(2x)\text{)},
y_{p}^{(2)}(x)=px+q\quad\text{(para }3x+2\text{)},
y_{p}^{(3)}(x)=m e^{x}\quad\text{(para }3e^{x}\text{)}.

Passo 4

Determinar a\) e \(b\) para o termo trigonométrico. Começamos calculando derivadas de \(y_{p}^{(1)}\): \[y_{p}^{(1)}=a\cos(2x)+b\sin(2x),
\bigl(y_{p}^{(1)}\bigr)'=-2a\sin(2x)+2b\cos(2x),
\bigl(y_{p}^{(1)}\bigr)''=-4a\cos(2x)-4b\sin(2x).
Agora formamos L[y]=y''+2y'+y aplicado a y_{p}^{(1)}:
L[y_{p}^{(1)}]=\bigl(y_{p}^{(1)}\bigr)''+2\bigl(y_{p}^{(1)}\bigr)'+y_{p}^{(1)}.
Somando os termos (colocando os coeficientes de \cos(2x) e \sin(2x)):
  • coeficiente de \cos(2x): -4a (de y'') +\;4b (de 2y') +\;a (de y) =\;-3a+4b.
  • coeficiente de \sin(2x): -4b (de y'') +\;(-4a) (de 2y') +\;b (de y) =\;-4a-3b.
Portanto
L[y_{p}^{(1)}]=(-3a+4b)\cos(2x)+(-4a-3b)\sin(2x).
Esse resultado deve ser igual ao termo de forçamento correspondente, que é 2\cos(2x). Assim obtemos o sistema
\begin{cases} -3a+4b=2,\\[4pt] -4a-3b=0. \end{cases}
Resolvendo: da segunda equação -4a-3b=0\Rightarrow 4a+3b=0\Rightarrow b=-\dfrac{4}{3}a.\] Substituindo na primeira: \[-3a+4\left(-\dfrac{4}{3}a\right)=2 \quad\Rightarrow\quad -3a-\dfrac{16}{3}a=2.\] Multiplicando por \(3:
-9a-16a=6 \quad\Rightarrow\quad -25a=6 \quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac{6}{25}.
Então
b=-\dfrac{4}{3}a=-\dfrac{4}{3}\left(-\dfrac{6}{25}\right)=\dfrac{24}{75}=\dfrac{8}{25}.
Logo
y_{p}^{(1)}(x)=-\dfrac{6}{25}\cos(2x)+\dfrac{8}{25}\sin(2x).]

Passo 5

Determinar p\) e \(q\) para o termo polinomial \(3x+2\). Tome \[y_{p}^{(2)}(x)=px+q.
Derivadas:
\bigl(y_{p}^{(2)}\bigr)'=p,\qquad \bigl(y_{p}^{(2)}\bigr)''=0.
Aplicando o operador linear:
L[y_{p}^{(2)}]=0+2p+(px+q)=px+(2p+q).
Devemos ter px+(2p+q)=3x+2. Igualando coeficientes de x e constantes:
\begin{cases} p=3,\\[4pt] 2p+q=2. \end{cases}
Da primeira p=3\]. Substituindo na segunda: \(2\cdot 3 + q =2 \Rightarrow 6+q=2 \Rightarrow q=-4.
Logo
y_{p}^{(2)}(x)=3x-4.]

Passo 6

Determinar m para o termo exponencial 3e^{x}. Tome
y_{p}^{(3)}(x)=m e^{x}.
Derivadas:
\bigl(y_{p}^{(3)}\bigr)'=m e^{x},\qquad \bigl(y_{p}^{(3)}\bigr)''=m e^{x}.
Aplicando o operador:
L[y_{p}^{(3)}]=m e^{x}+2m e^{x}+m e^{x}=4m e^{x}.
Queremos 4m e^{x}=3 e^{x}, então
4m=3 \quad\Rightarrow\quad m=\dfrac{3}{4}.
Portanto
y_{p}^{(3)}(x)=\dfrac{3}{4}e^{x}.

Passo 7

Somando as partes particulares obtidas:
y_{p}(x)=y_{p}^{(1)}+y_{p}^{(2)}+y_{p}^{(3)} =-\dfrac{6}{25}\cos(2x)+\dfrac{8}{25}\sin(2x)+3x-4+\dfrac{3}{4}e^{x}.
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}x e^{-x}-\dfrac{6}{25}\cos(2x)+\dfrac{8}{25}\sin(2x)+3x-4+\dfrac{3}{4}e^{x}.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}x e^{-x}-\dfrac{6}{25}\cos(2x)+\dfrac{8}{25}\sin(2x)+3x-4+\dfrac{3}{4}e^{x}

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