Determine a solução geral das EDO’s abaixo usando o Método de Variação dos Parâmetros:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=x e^{x}+2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear não-homogênea de segunda ordem
y''-3y'+2y = x e^{x} + 2x.
O que é pedido: determinar a solução geral y(x) dessa EDO, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea. As informações relevantes do enunciado são:
  • Equação diferencial: \;y''-3y'+2y = x e^{x} + 2x.
  • O lado direito (termo não-homogêneo) é \;r(x)=x e^{x}+2x.
    Não há outras informações externas fornecidas.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''-3y'+2y=0.
Usamos o método característico: supondo y=e^{rx} obtemos o polinômio característico
r^{2}-3r+2=0.
Resolvendo:
r=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\frac{3\pm1}{2},
logo r_{1}=2 e r_{2}=1. Portanto duas soluções fundamentais independentes são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=e^{2x},
e a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos o Método de Variação dos Parâmetros para encontrar uma solução particular y_{p}. A ansatz é
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
com funções u_{1},u_{2} a determinar. Impomos as condições padrão
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,
u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=r(x),
onde \;r(x)=x e^{x}+2x. Essas duas equações permitem resolver u_{1}' e u_{2}'.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais:
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2} = e^{x}\cdot (2e^{2x}) - (e^{x})\cdot e^{2x} = e^{3x}.

Passo 5

As fórmulas explícitas para u_{1}' e u_{2}' (caso de coeficiente principal 1) são
u_{1}'(x) = -\frac{r(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x) = \frac{r(x)\,y_{1}(x)}{W(x)}.
Substituindo y_{1}=e^{x}, y_{2}=e^{2x}, W=e^{3x} e r(x)=x e^{x}+2x, obtemos
u_{1}'(x) = -\frac{(x e^{x}+2x)\,e^{2x}}{e^{3x}} = -(x e^{x}+2x)e^{-x} = -x - 2x e^{-x},
u_{2}'(x) = \frac{(x e^{x}+2x)\,e^{x}}{e^{3x}} = (x e^{x}+2x)e^{-2x} = x e^{-x} + 2x e^{-2x}.

Passo 6

Integramos u_{1}'(x) para obter u_{1}(x). Temos
u_{1}(x)=\int \big(-x - 2x e^{-x}\big)\,dx = -\int x\,dx - 2\int x e^{-x}\,dx.
Calcule as integrais separadamente:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Para \int x e^{-x}\,dx usamos integração por partes: tome a=x, db=e^{-x}dx, então da=dx, b=-e^{-x}. Assim
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - \int(-e^{-x})\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C.
Voltando a u_{1} (desprezando constante de integração, pois corresponde à parte homogênea):
u_{1}(x) = -\frac{x^{2}}{2} - 2\big( -(x+1)e^{-x}\big) = -\frac{x^{2}}{2} + 2(x+1)e^{-x}.

Passo 7

Agora integramos u_{2}'(x):
u_{2}(x)=\int\big(x e^{-x} + 2x e^{-2x}\big)\,dx = \int x e^{-x}\,dx + 2\int x e^{-2x}\,dx.
Já sabemos \int x e^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x}. Para \int x e^{-2x}\,dx fazemos integração por partes: tome a=x, db=e^{-2x}dx, então da=dx, b=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}. Assim
\int x e^{-2x}\,dx = -\frac{x}{2}e^{-2x} - \int\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)dx = -\frac{x}{2}e^{-2x} - \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) = -\frac{x}{2}e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x}.
Ou de forma combinada,
\int x e^{-2x}\,dx = -\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)e^{-2x}.
Multiplicando por 2 e somando a primeira integral (novamente desprezando constantes de integração),
u_{2}(x) = -(x+1)e^{-x} + 2\cdot\left[-\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)e^{-2x}\right] = -(x+1)e^{-x} - \left(x+\tfrac{1}{2}\right)e^{-2x}.

Passo 8

Agora construímos a solução particular
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
Substituindo as expressões encontradas:
u_{1}(x)y_{1}(x) =\Big(-\frac{x^{2}}{2}+2(x+1)e^{-x}\Big)e^{x} = -\frac{x^{2}}{2}e^{x} + 2(x+1),
u_{2}(x)y_{2}(x) =\Big(-(x+1)e^{-x} - \big(x+\tfrac{1}{2}\big)e^{-2x}\Big)e^{2x} = -(x+1)e^{x} - \big(x+\tfrac{1}{2}\big).
Somando:
y_{p}(x) = \Big(-\frac{x^{2}}{2}e^{x} + 2(x+1)\Big) + \Big(-(x+1)e^{x} - \big(x+\tfrac{1}{2}\big)\Big).
Agrupando termos sem exponencial e com e^{x}:
y_{p}(x) = -\Big(\tfrac{1}{2}x^{2}+x+1\Big)e^{x} + \big(2(x+1) - (x+\tfrac{1}{2})\big).
Calcule a soma final dos termos polinomiais:
2(x+1) - \big(x+\tfrac{1}{2}\big) = x + \tfrac{3}{2}.
Então
y_{p}(x) = -\Big(\tfrac{1}{2}x^{2}+x+1\Big)e^{x} + x + \tfrac{3}{2}.

Passo 9

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_{h}(x)+y_{p}(x) = C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x} -\Big(\tfrac{1}{2}x^{2}+x+1\Big)e^{x} + x + \tfrac{3}{2},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias (absorvendo quaisquer constantes que possam aparecer nas integrações de u_{1},u_{2}).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}-\Big(\tfrac{1}{2}x^{2}+x+1\Big)e^{x}+x+\tfrac{3}{2}

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