Determine a solução geral das EDO’s abaixo usando o Método de Variação dos Parâmetros: y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=x e^{x}+2 x
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear não-homogênea de segunda ordem
y''-3y'+2y = x e^{x} + 2x.
O que é pedido: determinar a solução geral y(x) dessa EDO, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea. As informações relevantes do enunciado são:
Equação diferencial: \;y''-3y'+2y = x e^{x} + 2x.
O lado direito (termo não-homogêneo) é \;r(x)=x e^{x}+2x.
Não há outras informações externas fornecidas.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''-3y'+2y=0.
Usamos o método característico: supondo y=e^{rx} obtemos o polinômio característico
r^{2}-3r+2=0.
Resolvendo:
r=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\frac{3\pm1}{2},
logo r_{1}=2 e r_{2}=1. Portanto duas soluções fundamentais independentes são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=e^{2x},
e a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora aplicamos o Método de Variação dos Parâmetros para encontrar uma solução particular y_{p}. A ansatz é
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
com funções u_{1},u_{2} a determinar. Impomos as condições padrão
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,
u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=r(x),
onde \;r(x)=x e^{x}+2x. Essas duas equações permitem resolver u_{1}' e u_{2}'.
Passo 4
Calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais:
u_{2}(x)=\int\big(x e^{-x} + 2x e^{-2x}\big)\,dx = \int x e^{-x}\,dx + 2\int x e^{-2x}\,dx.
Já sabemos \int x e^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x}. Para \int x e^{-2x}\,dx fazemos integração por partes: tome a=x, db=e^{-2x}dx, então da=dx, b=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}. Assim