Nos itens abaixo, encontre a solução geral das EDO’s usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária
As informações relevantes que temos:
- A equação linear é de segunda ordem, não homogênea.
- O termo não-homogêneo é a soma de duas funções:
e . - Queremos a solução geral, isto é,
, onde é a solução da equação homogênea associada e é uma particular da não-homogênea.
Passo 2
Resolveremos primeiro a equação homogênea associada:
Formamos a equação característica:
As raízes são
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Explicação didática do Método dos Coeficientes a Determinar (em linguagem leve):
- A ideia é adivinhar (chutar) uma forma para uma solução particular
com coeficientes desconhecidos, derivar, substituir na equação e determinar esses coeficientes igualando termos semelhantes. - Regras básicas para escolher o “chute”:
- Se o termo for
(polinômio vezes exponencial), tenta-se um polinômio de grau com coeficientes desconhecidos multiplicando . - Se o termo for
, tenta-se . - Se o candidato escolhido for solução da homogênea (resonância), multiplica-se o chute por
, onde é a multiplicidade da raiz (ou ) na equação característica.
- Se o termo for
- No nosso problema: os expoentes associados são
(para ) e (para ). As raízes da homogênea foram , que não coincidem com nem com . Logo NÃO há ressonância e os chutes padrão funcionam.
Passo 4
Determinar uma particular para o termo
.
Escolha do chute: como
com polinômio de grau 1 e
não é raiz da característica, tentamos
com
a determinar.
Calculemos as derivadas (mostrando passo a passo):
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora substituímos em
:
Esse resultado deve ser igual ao termo correspondente do lado direito, que é
. Igualando coeficientes de
e do termo constante (multiplicando
cancela), obtemos o sistema:
Resolve-se:
Portanto
Passo 5
Determinar uma particular para o termo
.
Escolha do chute: para
tentamos
com
a determinar (novamente sem fator extra
porque não há ressonância).
Calculemos as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo em
:
Isso deve ser igual a
. Igualando coeficientes:
Daí
Portanto
Passo 6
Construir a solução particular total e a solução geral.
A solução particular total é a soma das duas partes encontradas:
Assim a solução geral da EDO é
com
constantes arbitrárias.