Nos itens abaixo, encontre a solução geral das EDO’s usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
y^{\prime \prime}-4 y=x e^{x}+\cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária
y''-4y = x e^{x} + \cos(2x).
As informações relevantes que temos:
  • A equação linear é de segunda ordem, não homogênea.
  • O termo não-homogêneo é a soma de duas funções: x e^{x} e \cos(2x).
  • Queremos a solução geral, isto é, y(x)=y_h(x)+y_p(x), onde y_h é a solução da equação homogênea associada e y_p é uma particular da não-homogênea.

Passo 2

Resolveremos primeiro a equação homogênea associada:
y''-4y=0.
Formamos a equação característica:
r^{2}-4=0.
As raízes são r=\pm 2. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Explicação didática do Método dos Coeficientes a Determinar (em linguagem leve):
  • A ideia é adivinhar (chutar) uma forma para uma solução particular y_p com coeficientes desconhecidos, derivar, substituir na equação e determinar esses coeficientes igualando termos semelhantes.
  • Regras básicas para escolher o “chute”:
    • Se o termo for P_n(x)e^{\alpha x} (polinômio vezes exponencial), tenta-se um polinômio de grau n com coeficientes desconhecidos multiplicando e^{\alpha x}.
    • Se o termo for A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x), tenta-se C\cos(\beta x)+D\sin(\beta x).
    • Se o candidato escolhido for solução da homogênea (resonância), multiplica-se o chute por x^s, onde s é a multiplicidade da raiz \alpha (ou i\beta) na equação característica.
  • No nosso problema: os expoentes associados são \alpha=1 (para e^{x}) e i\beta=\pm 2i (para \cos(2x)). As raízes da homogênea foram \pm 2, que não coincidem com 1 nem com \pm 2i. Logo NÃO há ressonância e os chutes padrão funcionam.

Passo 4

Determinar uma particular para o termo x e^{x}.
Escolha do chute: como x e^{x}=P_1(x)e^{1\cdot x} com polinômio de grau 1 e \alpha=1 não é raiz da característica, tentamos
y_{p1}(x)=(A x + B)e^{x},
com A,B a determinar.
Calculemos as derivadas (mostrando passo a passo):
Primeira derivada:
y_{p1}'(x)=\frac{d}{dx}\big[(A x + B)e^{x}\big]=A e^{x} + (A x + B)e^{x}=(A x + (A+B))e^{x}.
Segunda derivada:
y_{p1}''(x)=\frac{d}{dx}\big[(A x + (A+B))e^{x}\big]=A e^{x} + (A x + (A+B))e^{x}=(A x + (2A+B))e^{x}.
Agora substituímos em y''-4y:
y_{p1}''-4y_{p1}=\big(A x + (2A+B)\big)e^{x} -4\big(A x + B\big)e^{x}=e^{x}\big((-3A)x + (2A-3B)\big).
Esse resultado deve ser igual ao termo correspondente do lado direito, que é x e^{x}=e^{x}\big(1\cdot x + 0\big). Igualando coeficientes de x e do termo constante (multiplicando e^{x} cancela), obtemos o sistema:
-3A = 1,\qquad 2A - 3B = 0.
Resolve-se:
A = -\tfrac{1}{3},\qquad 2(-\tfrac{1}{3}) - 3B = 0 \Rightarrow -\tfrac{2}{3} - 3B = 0 \Rightarrow B = -\tfrac{2}{9}.
Portanto
y_{p1}(x)=\Big(-\tfrac{1}{3}x - \tfrac{2}{9}\Big)e^{x}.

Passo 5

Determinar uma particular para o termo \cos(2x).
Escolha do chute: para \cos(2x) tentamos
y_{p2}(x)=C\cos(2x)+D\sin(2x),
com C,D a determinar (novamente sem fator extra x porque não há ressonância).
Calculemos as derivadas:
Primeira derivada:
y_{p2}'(x) = -2C\sin(2x) + 2D\cos(2x).
Segunda derivada:
y_{p2}''(x) = -4C\cos(2x) -4D\sin(2x).
Substituindo em y''-4y:
y_{p2}''-4y_{p2}=(-4C\cos(2x)-4D\sin(2x)) -4(C\cos(2x)+D\sin(2x)) = -8C\cos(2x) -8D\sin(2x).
Isso deve ser igual a \cos(2x)+0\cdot\sin(2x). Igualando coeficientes:
-8C = 1,\qquad -8D = 0.
Daí
C = -\tfrac{1}{8},\qquad D = 0.
Portanto
y_{p2}(x) = -\tfrac{1}{8}\cos(2x).

Passo 6

Construir a solução particular total e a solução geral.
A solução particular total é a soma das duas partes encontradas:
y_p(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x)=\Big(-\tfrac{1}{3}x - \tfrac{2}{9}\Big)e^{x} - \tfrac{1}{8}\cos(2x).
Assim a solução geral da EDO é
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+\Big(-\tfrac{1}{3}x - \tfrac{2}{9}\Big)e^{x} - \tfrac{1}{8}\cos(2x),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+\displaystyle\Big(-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{2}{9}\Big)e^{x}-\tfrac{1}{8}\cos(2x)

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