Nos itens abaixo, esboce, descreva e classifique as regiões de integração.
0 <= y <= 1,0 <= x <= sen^-1 y

Passo 1

O enunciado nos dá a região R definida por 0 \le y \le 1 e 0 \le x \le \sin^{-1}(y). O conteúdo é esboçar e classificar regiões de integração simples (tipo I e tipo II).

Passo 2

Para esboçar, note que a curva x = \sin^{-1}(y) é equivalente a y = \sin(x) para x em [0,\pi/2]. Essa curva vai de (0,0) a (\pi/2,1). A região R fica entre essa curva, o eixo y=0, a reta y=1 e o eixo x=0.

Passo 3

Matematicamente, escrevemos a região como:
R = (x,y) mid 0 <= y <= 1,;0 <= x <= sin^-1(y)

Passo 4

Classificação:
  • R é uma região x-simples (tipo II), pois x varia entre funções de y e y entre constantes: g1(y)=0, g2(y)=sin^-1(y), 0<= y<=1
    - Também é y-simples (tipo I), invertendo as variáveis:
    R=(x,y)mid 0<= x<=tfracpi2,;0<= y<=sin(x), com f1(x)=0, f2(x)=sin(x), 0<= x<=pi/2.

Resposta

R é a região no 1º quadrante limitada por x=0, y=0, y=1 e a curva x=\sin^{-1}(y). Ela é x-simples (tipo II) com g_1(y)=0, g_2(y)=\sin^{-1}(y), 0\le y\le1, e também y-simples (tipo I) com f_1(x)=0, f_2(x)=\sin(x), 0\le x\le\pi/2.

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