Seja
. Então :
Determine a imagem de
.
Determine a imagem de
Passo 1
Então, galera, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir qual é a imagem dessa função. Isso significa encontrar todos os valores que
pode assumir. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções de duas variáveis e entender as restrições que a raiz quadrada impõe.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
. Para que a função seja real e definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja, temos a condição:
Passo 3
Vamos reescrever essa desigualdade para facilitar a visualização:
Dividindo todos os termos por 36, ficamos com:
Essa é a equação de uma elipse no plano
, indicando que
e
estão limitados dentro dessa forma.
Passo 4
Agora, vamos pensar nos valores que
pode assumir. A função é a raiz quadrada de uma expressão que sabemos ser no máximo 36 (quando
e
):
Então, o valor máximo que
pode alcançar é 6.
Passo 5
Por outro lado, a menor valor que a expressão dentro da raiz pode assumir é 0, quando:
Isso acontece na fronteira da elipse. Nesse caso:
Então, o menor valor que
pode ter é 0.
Resposta
A imagem de
é o conjunto de todos os números reais entre 0 e 6, ou seja: