Seja f(x, y)=raiz36-9 x^2-4 y^2. Então :
Determine a imagem de f.

Passo 1

Então, galera, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir qual é a imagem dessa função. Isso significa encontrar todos os valores que pode assumir. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções de duas variáveis e entender as restrições que a raiz quadrada impõe.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada: 36 - 9x^2 - 4y^2 >= 0 . Para que a função seja real e definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja, temos a condição:

Passo 3

Vamos reescrever essa desigualdade para facilitar a visualização:
9x^2 + 4y^2 <= 36
Dividindo todos os termos por 36, ficamos com:
x^24 + y^29 <= 1
Essa é a equação de uma elipse no plano , indicando que e estão limitados dentro dessa forma.

Passo 4

Agora, vamos pensar nos valores que f(0, 0) = raiz36 = 6 pode assumir. A função é a raiz quadrada de uma expressão que sabemos ser no máximo 36 (quando e ):
Então, o valor máximo que pode alcançar é 6.

Passo 5

Por outro lado, a menor valor que a expressão dentro da raiz pode assumir é 0, quando:
9x^2 + 4y^2 = 36
Isso acontece na fronteira da elipse. Nesse caso:
f(x, y) = raiz0 = 0
Então, o menor valor que pode ter é 0.

Resposta

A imagem de Im(f) = [0, 6] é o conjunto de todos os números reais entre 0 e 6, ou seja:

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