Nos itens abaixo escreva em coordenadas retangulares as integrais dadas em coordenadas esféricas.
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Passo 1
A gente tem uma integral em coordenadas esféricas sobre ρ∈[0,4], φ∈[π/6,π/3], θ∈[0,π/2] com integrando √(4−ρ²)·ρ·sinφ. O objetivo é reescrever isso em coordenadas retangulares, ou seja, em x,y,z.
Em primeiro lugar, lembro as relações entre as coordenadas: x=ρ inosφ inoscosθ, y=ρ inosφ inosθ, z=ρ inoscosφ. O fator dV em retangulares é dx inosdy inosdz, enquanto em esféricas é ρ² inosφ inosdρ inosdφ inosdθ. Aqui já estava embutido ρ inosφ no integrando, sobrando √(4−ρ²). Então em retangulares o integrando vira √(4−(x²+y²+z²)).
Em primeiro lugar, lembro as relações entre as coordenadas: x=ρ inosφ inoscosθ, y=ρ inosφ inosθ, z=ρ inoscosφ. O fator dV em retangulares é dx inosdy inosdz, enquanto em esféricas é ρ² inosφ inosdρ inosdφ inosdθ. Aqui já estava embutido ρ inosφ no integrando, sobrando √(4−ρ²). Então em retangulares o integrando vira √(4−(x²+y²+z²)).
Passo 2
Agora preciso descrever a região E em retangulares: 1) ρ≤4 ⇒ x²+y²+z²≤16. 2) θ∈[0,π/2] ⇒ estamos no primeiro octante: x≥0 e y≥0. 3) φ∈[π/6,π/3] ⇒ tanφ=√(x²+y²)/z varia de tan(π/6)=1/√3 a tan(π/3)=√3. Logo a região fica entre os cones (1/√3) inosz ≤ √(x²+y²) ≤ √3 inosz, com z≥0.
Passo 3
Pronto: a integral em retangulares fica a integral tripla sobre E:
Resposta
com