Nos itens abaixo escreva em coordenadas retangulares as integrais dadas em coordenadas esféricas.
I=integral0^pi2 integralpi6^pi3 integral0^4 raiz4-rho^2 rho sin phi d rho d phi d theta.

Passo 1

A gente tem uma integral em coordenadas esféricas sobre ρ∈[0,4], φ∈[π/6,π/3], θ∈[0,π/2] com integrando √(4−ρ²)·ρ·sinφ. O objetivo é reescrever isso em coordenadas retangulares, ou seja, em x,y,z.
Em primeiro lugar, lembro as relações entre as coordenadas: x=ρ inosφ inoscosθ, y=ρ inosφ inosθ, z=ρ inoscosφ. O fator dV em retangulares é dx inosdy inosdz, enquanto em esféricas é ρ² inosφ inosdρ inosdφ inosdθ. Aqui já estava embutido ρ inosφ no integrando, sobrando √(4−ρ²). Então em retangulares o integrando vira √(4−(x²+y²+z²)).

Passo 2

Agora preciso descrever a região E em retangulares: 1) ρ≤4 ⇒ x²+y²+z²≤16. 2) θ∈[0,π/2] ⇒ estamos no primeiro octante: x≥0 e y≥0. 3) φ∈[π/6,π/3] ⇒ tanφ=√(x²+y²)/z varia de tan(π/6)=1/√3 a tan(π/3)=√3. Logo a região fica entre os cones (1/√3) inosz ≤ √(x²+y²) ≤ √3 inosz, com z≥0.

Passo 3

Pronto: a integral em retangulares fica a integral tripla sobre E:
I=integral triplaE raiz4 - (x^2 + y^2 + z^2);dx,dy,dz, onde E=(x,y,z):x>=0,,y>=0,,z>=0,,x^2+y^2+z^2<=16,,tfrac1raiz3,z<=raizx^2+y^2<=raiz3,z

Resposta

I=integral triplaE raiz4 - (x^2 + y^2 + z^2);dx,dy,dz,
com
E=(x,y,z):x>=0,;y>=0,;z>=0,;x^2+y^2+z^2<=16,;tfrac1raiz3z<=raizx^2+y^2<=raiz3 z

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